Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал
Вероятность попадания нормально распределенной с.в. в интервал 
определяется по формуле:
где 
– математическое ожидание, 
– среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
И 
– функция Лапласа.
Вероятность заданного отклонения нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания. Правило трех сигм.
Вероятность отклонения нормально распределенной с.в от математического ожидания по
абсолютной величине меньше, чем на 
( >0), определяется по формуле:
где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение.
Вычислим вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины 
от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит 
.
Воспользуемся формулой для нахождения вероятности заданного отклонения, в которую в качестве подставим :
Таким образом, вероятность того, что отклонение
случайной величины по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит , составляет всего 0,0027. Такое событие, исходя их принципа невозможности маловероятных событий, можно считать практически невозможным.
Вывод (правило трех сигм): если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
52. Закон больших чисел: неравенство Чебышева.
Под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
В основе- неравенство Чебышева:
Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше чем 
:
Справедливо для дискретных и непрерывных с.в.
Теорема Чебышева.
Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной С:
Тогда каково бы ни было положительное число вероятность события стремится к единице.
Теорема Бернулли.
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р.
