Линейные дифференциальные уравнения. Примеры
Опр. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:
  ;
| (19) |
Если старший коэффициент q0 (x) отличен от нуля на интервале (a, b), т.е. 
для 
, то, умножая (19) на 
, приводим уравнение к виду со старшим коэффициентом, равным 1:
 ;
| (20) |
; дальше мы будем рассматривать уравнение (20).
Если правая часть уравнения тождественно равна нулю на рассматриваемом интервале (f(x)=0 при ), то уравнение называется однородным. Таким образом, однородное уравнение - это уравнение вида
 ;
| (21) |
Задача Коши для уравнений (20) и (21) ставится также, как и для общего уравнения n-го порядка (17) 
: требуется найти решение уравнения (20) или (21), удовлетворяющее начальным условиям
| (22) |
где y0, y1, y2, …, yn-1 - заданные числа. Для уравнения (17) теорема существования и единственности решения задачи Коши требовала непрерывности функции 
и её производных 
; если привести (20) к виду (17):
,
то 
. Таким образом, условия теоремы Коши приводят к необходимости непрерывности функций f(x) и pi(x), i = 1, 2, …, n. Далее, вывод теоремы Коши для уравнения (17) заключался в том, что найдётся окрестность точки x0, в которой существует однозначно определённое решение задачи Коши; для линейных уравнений (20) и (21) вывод более глобален: единственное решение существует на всём интервале (a, b), на котором выполняются условия теоремы:
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f(x), pi(x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x0 - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (22) существует единственная функция y(x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (20) и начальным условиям (22).
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.
35 Однородные дифференциальные уравнения. Примеры.
Обыкновенное уравнение первого порядка 
называется однородным относительно x и y, если функция 
является однородной степени 0:
.
Однородную функцию можно представить как функцию от 
:
.
Используем подстановку 
, а затем воспользуемся: 
. Тогда дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными:
.
Однородность по правой части
Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение 
— однородно, если 
.
В случае, если 
, говорят о неоднородном дифференциальном уравнении.
Именно для решения линейных однородных диф. уравнений была построена целая теория, чему способствовало выполнение у них принципа суперпозиции.