Вычисление объема тел вращения

Предположим, что площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси ОХ, может быть выражена функцией от х: при , тогда объем тела, заключенный между перпендикулярными оси ОХ плоскостями и , находится по формуле

. (4.10)

Если криволинейную трапецию (рис.4.10) вращать вокруг оси ОХ, то объем тела вращения будет равен

. (4.11)

Если плоская область, ограниченная кривыми и прямыми и , вращается вокруг оси ОХ, то

(4.12)

Аналогично можно записать формулы для вычисления объемов тел вращения вокруг оси ОY:

(4.13)

(4.14)

Если кривые, ограничивающие плоскую область заданы в параметрическом виде, то к формулам (4.10 - 4.14) следует применить соответствующие замены переменной.

Если криволинейный сектор вращать вокруг полярной оси (см.рис.5.7), то

. (4.15)

Пример 49. Вычислить объем тела, полученного при вращении дуги кривой , вокруг оси ОХ.

Решение. Данная кривая называется цепной линией. График ее изображен на рис.4.9. Объем тела вращения (рис.4.10) вычислим по формуле (4.11)

Пример 50. Найти объем параболоида вращения, радиус основания которого равен R, а высота - Н.

Решение. Искомый параболоид вращения с указанными параметрами получится, если будем вращать вокруг оси ОY параболу , (рис.4.11; 4.12), где параметр k легко вычислить исходя из данного условия.

Если , то , поэтому

Далее воспользуемся формулой (4.13)

Если то

(ед³).

Пример 51. Найти объем тела вращения кривой , вокруг оси ОХ.

Решение. Данная кривая задана в параметрическом виде -

это эллипс (рис.4.13). Искомой фигурой вращения

является эллипсоид. Найдем по формуле (4.11)

Если , то , .

(куб.ед.).

Вычисление площади поверхностей тел вращения

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ, равна

где - дифференциал дуги кривой.

В зависимости от задания кривой - явное, в параметрическом виде или в полярных координатах - указанную формулу можно расписать так

. (4.16)

. (4.17)

. (4.18)

Пример 52. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой , .

Решение. или

Воспользуемся формулой (4.16)

С помощью определенного интеграла можно вычислить и многие другие геометрические и физические характеристики фигур: статические моменты и моменты инерции плоских фигур, координаты центра тяжести дуг кривых и плоских фигур, работу, давление и пр. Подробнее об этом см. [2], Гл.XII, [2] §§6,7,8,9.

Список рекомендуемой литературы

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисления. - М.: Наука, 1980. 464.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. ТТ.1- 2, М.: Интеграл-Пресс, 2001,2002. - 416с., 544с.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ЧЧ. 1-2. - М.: Высшая школа, 1980-2000. - 304с., 416с.

4. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высшая школа, 1966. - 460с.