Тема: «Неопределенный и определенный интегралы
Расчетно-графическая работа № 3
Двойные, тройные, кратные, поверхностные интегралы»
Задание 1.
Вычислить интегралы методом непосредственного интегрирования или методом замены переменных. Результат интегрирования проверить дифференцированием.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11.
28. 
12. 
29. 
13.
30. 
14.
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 2.
Вычислить интегралы, используя метод интегрирования по частям. Результаты интегрирования проверить дифференцированием.
1. 
17. 
2. 
18. 
3. 
19. 
4. 
20. 
5. 
21. 
6. 
22. 
7. 
23. 
8. 
24. 
9. 
25. 
10. 
26. 
11. 
27. 
12. 
28. 
13. 
29. 
14. 
30. 
15. 
31. 
16. 
32. 
33. 
Задание 3.
Вычислить интегралы вида 
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 4.
Вычислить интегралы вида 
.
17. 
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
Задание 5.
Вычислить интеграл от дробно-рациональных функций.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27.
11. 
28.
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 6.
Вычислить интеграл от иррациональных функций.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 7.
Вычислить интегралы от тригонометрических функций.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 8.
Вычислить интегралы от тригонометрических функций.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24.
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 9.
Вычислить интеграл от тригонометрической функции.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33.
17. 
Задание 10.
Вычислить интегралы от тригонометрических функций.
1. 
18. 
2. 
19. 
3. 
20. 
4. 
21. 
5. 
22. 
6. 
23. 
7. 
24. 
8. 
25. 
9. 
26. 
10. 
27. 
11. 
28. 
12. 
29. 
13. 
30. 
14. 
31. 
15. 
32. 
16. 
33. 
17. 
Задание 11.Вычислить значение определенного интеграла.
1. а) 
в) 
2. а) 
в) 
3. а) 
в) 
4. а) 
в) 
5.а) 
в) 
6. а) 
в) 
7. а) 
в) 
8. а) 
в) 
9. а) 
в) 
10. а) 
в) 
11. а) 
в) 
12. а) 
в) 
13. а) 
в) 
14. а) 
в) 
15. а) 
в) 
16. а) 
в) 
17. а) 
в) 
18. а) 
в) 
19. а) 
в) 
20. а) 
в) 
21. а) 
в) 
22. а) 
в) 
23. а) 
в) 
24. а) 
в) 
25. а) 
в) 
26. а) 
в) 
27. а) 
в) 
28. а) 
в) 
29. а) 
в) 
30. а) 
в) 
31. а) 
в) 
32. а) 
в) 
33. а) 
в) 
Задание 12. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
1. 
12. 
23. 
2. 
13. 
24. 
3. 
14. 
25. 
4. 
15. 
26. 
5. 
16. 
27. 
6. 
17. 
28. 
7. 
18. 
29. 
8. 
19. 
30. 
9. 
20. 
31. 
10. 21. 
32. 
11. 
22. 33. 
Задание 13. Вычислить площади фигур.
1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой у=х2+1, осью Ох и прямыми х=1 и х=4.
2. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=lnx, y=0, x=1, x=e
3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной полукубической параболой у2=х3 и прямой х=4.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: х-2у+4=0, х+у-5=0 и у=0.
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной: 7х2-9у-9=0, 5х2-9у+27=0.
Вычислить площади фигур, ограниченные указанными линиями:
6. х-у+2=0, у=0, х=-1, х=2.
7. х-у+3=0, х+у-1=0, у=0
8. х-2у+4=0, х+2у-8=0, у=0, х= -1,х=6.
9. у=х2, у=0, х=0, х=3
10. у= 3х2, у=0,х=-3, х=2
11. у=х2+1, у=0, х=-1, х=2
12. у=0,5х2+2, у=0,х=1, х=3
13. у=1/3х2+3, у=0,х=0,х=3
14. у2=х, у ³ 0, х=0, х=3
15. у= -х2-2х+8, у=0
16. у=-2/9х2+4/3х, у=0
17. у=-х2+6х-5, у=0, х=2, х=3
18. у=1/х, у=0, х=1, х=3
19. у=2/х, у=0, х=2, х=4
20. y= cosx, y=0, x=0, x=p/2
21. y=tgx, y=0, x=0, x=p/3
22. y=tgx, y=0, x=p/6, x=p/3
23. y2=9x, y=3x
24. xy=az, осью Ох и х=а, х=2а
25. у= 4-х2 и осью Ох
26. у=х3, у=2х, у=х
27. у2=2рх, х2=2ру
28. у=х3, у=2х, у=х
29. у=х2, у=-3х
30. у=х2, у=2х+8
31. у=х2+2, у=6
32. у=0,5х2-4х+10, у=х+2
33. у=х2-2х+3, у=3х-1
Задание 14.Найти объем тел, образованных вращением вокруг оси и ограниченных линиями.
1. Ох, 
18. Ох, 
2. Ох, 
19. Ох, 
3. Ох, 
20. Оу, 
4. Ох, 
21. Оу, 
5. Ох, 
22. Оу, 
6. Ох, 
23. Оу, 
7. Ох, 
24. Ох, 
8. Ох, 
9. Ох, 
10. Ох, 
11. Ох, 
12. Ох, 
13. Ох, 
14. Ох, 
15. Ох, 
16. Ох, 
17. Ох, 
25. вокруг прямой у=0, у=sin x, у=0, хÎ [0;p]
26. вокруг прямой х=0, у=sin x, у=0, хÎ [0;p]
27. вокруг прямой х=2p, у=sin x, у=0, хÎ [0;p]
28. вокруг прямой у=0, у=ln x, у=0, х=е
29. вокруг прямой х=0, у=ln x, х=е, у=0,
30. вокруг прямой х=-1, у=sin x, у=0, хÎ [0;p]
31. вокруг прямой х=-1, у=ln x, у=0, х=е
32. вокруг прямой у=-2, у=sin x, у=0, хÎ [0;p]
33. вокруг прямой х=1, у=ln x, у=0, х=е
Задание 15. Вычислить длины дуг кривых.
1. 
от х= 
до х= 
2. 
от х=0 до х=1
3. 
от х=0 до х= 
4. 
от х=0 до х=1
5. 
,у= 
от t=0 до t=3
6. 
от t=0 до t=lnt
7. 
, у=6sint-8cost, от t=0 до t=
8.
9. 
от начала координат до точки х=5а.
10. длину одной арки 
11. 
от х= 
до х= 
12. от х=0 до х= 
13. всю длину r= 
14. r= 
15. Найти площадь поверхности, полученной вращением параболы у2=4ах вокруг оси Ох, от начала 0 до точки с абсциссой х=3а.
16. Найти площадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезка прямой у=2х от х=0 до х=2, вокруг оси Ох.
17. Дуга синусоиды у=sin x от х=0 до х=2p вращается около оси . Найти поверхность тела вращения.
С 18 задания начинают с задания 1.
Задание 16.
Вычислить двойные интегралы по указанным прямоугольникам D:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 17.
С помощью двойного интеграла вычислить площади областей, ограниченных линиями:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. Эллипсом 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
(вне параболы).
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 18.
С помощью двойного интеграла вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:
1. 
2. 
3. 
(при y>0).
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
, z=0.
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18.
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
Задание 19.
С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра масс и момент инерции, считая плотность постоянной и равной единице:
1. Вычислить координаты центра масс равностороннего треугольника, принимая его высоту за ось Ох, а вершину треугольника за начало координат.
2. Вычислить момент инерции площади прямоугольника, ограниченного прямыми x=0, x=a, y=0, y=b, относительно начала координат.
3. Найти координаты центра масс кругового сектора радиуса а, принимая биссектрису его угла за ось Ох.
4. Вычислить момент инерции эллипса 
, относительно оси Оу.
5. Найти координаты центра масс верхней половины круга 
6. Вычислить момент инерции эллипса , относительно начала координат.
7. Найти координаты центра масс площади одной арки циклоиды
8. Вычислить момент инерции площади круга r=2acosq относительно полюса.
9. Найти координаты центра масс площади, ограниченной петлей кривой
r=a(1+cosq).
10. Вычислить момент инерции площади кардиоиды r=a(1-cosq) относительно полюса.
11. Найти координаты центра масс площади кардиоиды r=a(1+cosq).
12. Вычислить момент инерции площади круга (х-а)2+(у-b)2=2а2 относительно оси Оу.
13. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной двумя параболами у2=х и х2=у.
14. Вычислить момент инерции площади фигуры, ограниченной параболой у2=ах и прямой х=а, относительно прямой у= - а.
15. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной прямой у=0 и одной полуволной синусоиды y=sinx.
16. Вычислить момент инерции пластинки, ограниченной прямыми 
х=а, у=а относительно оси Ох.
17. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной параболой у=х2 и прямыми х=4, у=0.
18. Вычислить момент инерции пластинки, ограниченной линиями 
у=2х, х=0 относительно оси Оу.
19. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной линиями у2=ах, у=х.
20. Вычислить момент инерции пластинки, ограниченной линиями х+у=2, х=2, у=2 относительно оси Ох.
21. Найти координаты центра масс пластинки, ограниченной линиями х2+у2=а2 и у=0.
22. Вычислить момент инерции пластинки, ограниченной параболой у=4-х2 и осью Ох относительно оси Оу.
23. Найти координаты центра масс полусегмента параболы у2=ах, х=а, у=0 (при у>0).
24. Найти координаты центра масс полуэллипса , отсеченного осью Ох.
25. Найти координаты центра масс фигуры, ограниченной синусоидой у=sinx, осью ОХ и прямой х=p/4.
Задание 20.
Вычислить тройные интегралы по областям Т, ограниченным указанными поверхностями:
1. 
2. 
3. 
4.