Тема 2 ЗВЕДЕННЯ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ДО КАНОНІЧНОГО ВИГЛЯДУ ЗА ДОПОМОГОЮ ЗАМІНИ ЗМІННИХ 1 страница
Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку з двома незалежними змінними (1.1). Встановити тип цього рівняння можна за допомогою дискримінанта
. (2.1)
1) Якщо Δ > 0, то рівняння (1.1) є рівнянням гіперболічного типу.
2) Якщо Δ = 0, то рівняння (1.1) є рівнянням параболічного типу.
3) Якщо Δ < 0, то рівняння (1.1) є рівнянням еліптичного типу.
Приклад 2.1 Встановити тип рівняння:
а) 
Розв’язування
– рівняння параболічного типу.
б) 
Розв’язування
Δ < 0 – рівняння еліптичного типу.
Покажемо, що рівняння (1.1) у кожному класі можна звести до найпростішого (канонічного) вигляду. Введемо нові змінні:
, 
. (2.2)
Функції φ(x,y) та ψ(x,y) неперервні, двічі диференційовні і якобіан переходу від змінних (x,y) до змінних (ξ,η) відмінний від нуля, тобто:
. (2.3)
Умова (2.3) є необхідною і достатньою умовою того, що система (2.2) має єдиний розв’язок.
Здійснимо необхідну заміну змінних:
(2.4)
Підставивши похідні (2.4) у рівняння (1.1) одержуємо
або
(2.6)
Введемо нові позначення:
(2.7)
Підставивши рівності (2.7) в рівняння (2.6) знову отримуємо лінійне рівняння другого порядку із невідомою функцією 
та двома незалежними змінними 
та 
:
. (2.8)
Оскільки
, (2.9)
то тип рівняння (2.8) збігається з типом рівняння (1.1).
Слід зауважити, що функції φ(x,y) та ψ(x,y) підбираються так, щоб деякі з коефіцієнтів 
, 
, 
дорівнювали нулеві.
2.1 Рівняння гіперболічного типу
Для рівнянь такого типу функції φ(x,y) та ψ(x,y підбираються таким чином, щоб 
. Звідси, з врахуванням (2.7), маємо
(2.10)
Розв’яжемо систему (2.10) на відносно 
і 
. Одержимо:
. (2.11)
Розв’язками системи (2.11) є:
(2.12)
Таким чином, кожне з рівнянь системи (2.11) розпадається на два лінійні однорідні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку:
і 
, (2.13)
де
, 
. (2.14)
Розв’язки систем (2.13) можна знайти, розв’язавши так звані диференціальні рівняння характеристик:
(2.15)
та
. (2.16)
Функції 
та 
диференціальних рівнянь (2.15) та (2.16) мають неперервні частинні похідні до другого порядку включно, що випливає з припущень про коефіцієнти 
. Тому існують загальні інтеграли 
і 
рівнянь (2.15) та (2.16) і їхні ліві частини також мають неперервні похідні до другого порядку включно. Функції 
та 
і будуть шуканими розв’язками систем (2.13), а отже і (2.10).
Таким чином ми знаходимо заміну 
і 
, яка обертає в нуль коефіцієнти і 
рівняння (2.8). При цьому 
не обертається в нуль в жодній точці, що безпосередньо випливає з рівності (2.9).
Тому шукана канонічна форма така
. (2.17)
Приклад 2.2 Звести до канонічного вигляду рівняння
.
Розв’язування
Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки
, то дане рівняння є рівнянням гіперболічного типу.
Диференціальні рівняння характеристик та їх загальні інтеграли такі:
1) 
; 
; 
, звідси 
;
2) 
; 
; 
, звідси 
.
Згідно з (2.4) маємо
;
.
Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо
, або
.
Поділимо останній вираз на 
, отримаємо:
.
Оскільки , остаточно одержуємо канонічний вигляд даного рівняння
.
2.2 Рівняння еліптичного типу
Якщо рівняння (1.1) є рівнянням еліптичного типу, то існують такі функції 
та 
, що 
і дане рівняння зводиться до канонічної форми
. (2.18)
Опишемо процедуру знаходження цих функцій.
Спочатку формально, як і у попередньому випадку, приводимо рівняння (1.1) до вигляду
(2.19)
При цьому нові змінні та будуть комплексно спряженими
, 
, (2.20)
оскільки диференціальні рівняння характеристик (2.15) та (2.16) у випадку, що розглядається, мають вигляд
, 
. (2.21)
Таким чином, рівняння еліптичного типу має лише уявні характеристики.
Виконаємо нову заміну змінних
, 
, (2.22)
внаслідок якої рівняння (2.19), а отже і рівняння (1.1) зводиться до шуканої канонічної форми з точністю до зміни позначень
.
Приклад 2.3 Звести до канонічного вигляду рівняння 
Розв’язування
Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки
, то дане рівняння є рівнянням еліптичного типу.
Диференціальні рівняння характеристик та їх загальні інтеграли такі:
1) 
; 
; 
, звідси 
;
2) 
; 
, звідси 
.
Отримані змінні комплексні, тому згідно з (2.22) знаходимо остаточну заміну змінних
, 
.
Згідно з (2.4) маємо
,
.
Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо
,
.
2.3 Рівняння параболічного типу
Якщо рівняння (1.1) є рівнянням параболічного типу, то функції та підбираються такі, що 
, і дане рівняння зводиться до канонічної форми
. (2.23)
Опишемо процедуру знаходження цих функцій.
Знаходимо функцію , яка є розв’язком рівняння
(2.24)
Як і у випадку гіперболічного рівняння припускаємо, що 
та розв’яжемо рівняння (2.24) відносно 
. При цьому отримуємо лише одне рівняння характеристик
, (2.25)
оскільки 
.
Нехай 
є загальний інтеграл рівняння (2.25), звідки 
. Інша змінна 
вибирається довільним чином за умови, що і перетворює на нуль коефіцієнт 
.
Приклад 2.4 Звести до канонічного вигляду рівняння 
.
Розв’язування
Для визначення типу рівняння складемо його дискримінант. Оскільки
, то дане рівняння є рівнянням параболічного типу.
Складемо згідно з (2.25) диференціальне рівняння характеристик
, 
, звідки 
.
Рівняння для другої незалежної змінної можна взяти у вигляді 
, оскільки за такого вибору якобіан
відмінний від нуля в усіх точках площини 
, крім точок осі 
і згідно з (2.7) перетворює на нуль коефіцієнт .
Згідно з (2.4) маємо
; 
;
.
Підставимо знайдені похідні у наше рівняння, маємо
.
Розглянемо декілька прикладів на зведення рівнянь до канонічного вигляду в системі аналітичних обчислень Maple
Приклад 2.5Звести до канонічного вигляду рівняння
.
Розв’язування
Розв’язуємо задачу в системі аналітичних обчислень Maple. Задаємо рівняння
> a[1]:= 4;a[2]:=4;a[3]:=1;a[4]:=0;a[5]:=-2;a[6]:=0;a[7]:=0;
> equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*(x,y diff(u(x,y),x,y)+ +a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*diff(u(x,y),x)+a[5]*diff(u),y)+ +a[6]*u(x,y)+a[7]=0;
equ:= 
> eq:=lhs(equ);
equ:= 
Обчислюємо матрицю старших коефіцієнтів і її визначник
> A:= linalg[matrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);
> Delta:=simplify(linalg[det](A));
Оскільки визначник матриці старших коефіцієнтів 
, то тип рівняння – параболічний.
Формуємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.
> A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2]=0;res1:=solve(A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2],z);
> subs(y=(x),res1[1]);res2:=dsolve(diff(y(x),x)=%,y(x));
Одержали одне сімейство характеристик. Вводимо заміну змінних.
> res2:=subs(y(x)=y,res2);
> itr:={xi=solve(res2,_C1),eta=y};
itr:= 
Зводимо задане рівняння до канонічного вигляду
> tr:=solve(itr,{x,y}); PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;
tr:= 
Зауваження: Якщо вибрати другу заміну змінних
> itr:={xi=solve(res2,_C1),eta=x};
itr:= 
то одержимо рівняння виду:
> tr:=solve(itr,{x,y});
PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi],simplify)=0;
tr:= 
Приклад 2.6 Звести до канонічного вигляду рівняння
Розв’язування
Розв’язуємо задачу в системі аналітичних обчислень Maple. Задаємо коефіцієнти нашого рівняння і саме рівняння
> a[1]:= 3;a[2]:=2;a[3]:=-1;a[4]:=2;a[5]:=3;a[6]:=0;a[7]:=0;
>equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*diff(u(x,y),x,y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+a[4]*diff(u(x,y),x)+ +a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;
equ:= 
> eq:=lhs(equ);
eq:= 
Обчислюємо матрицю старших коефіцієнтів і її визначник
> A:= linalg[matrix](2,2,[coeff(eq,diff(u(x,y),x,x)), coeff(eq,diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq, diff(u(x,y),x,y))/2, coeff(eq,diff(u(x,y),y,y))]);
> Delta:=simplify(linalg[det](A));
Оскільки визначник матриці старших коефіцієнтів 
, то тип рівняння – гіперболічний.
Формуємо характеристичне рівняння і розв’язуємо його.
>A[1,1]*z^2-2*A[1,2]*z+A[2,2]=0;res1:=solve(A[1,1]*z^2-2*A[1, 2]*z+A[2,2],z);
> res2:={seq(dsolve(diff(y(x),x)=res1[i],y(x)),i=1..2)};
> res2:=subs(y(x)=y,res2);
Таким чином, ми одержали дві характеристики. Виконуємо заміну змінних.
> {seq(solve(res2[i],_C1),i=1..nops(res2))};
> itr:={xi=solve(res2[1],_C1),eta=solve(res2[2],_C1)};
Тепер зводимо задане рівняння до канонічного вигляду.
>tr:=solve(itr,{x,y});PDEtools[dchange](tr,eq,itr,[eta,xi], simplify)=0;
Приклад 2.7Звести до канонічного вигляду рівняння
Розв’язування
Задаємо рівняння
> a[1]:=3;a[2]:=2;a[3]:=1;a[4]:=2;a[5]:=3;a[6]:=0;a[7]:=0;
>equ:=a[1]*diff(u(x,y),x,x)+a[2]*diff(u(x,y),x,y)+a[3]*diff(u(x,y),y,y)+[4]*diff(u(x,y),x)+ +a[5]*diff(u(x,y),y)+a[6]*u(x,y)+a[7]=0;