Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть даны три точки пространства М1(х1; у1; z1), М2(х2; у2; z2), M3(x3; y3; z3), не лежащие на одной прямой. Пусть М(х; у; z) – произвольная точка этой плоскости (х – х0; у – у0; z – z0), (х2 – х1; у2 – у1; z2 – z1), (х3 – х1; у3 – у1; z3 – z1) компланарны. Поэтому их смешанное произведение равно нулю:

= 0.

Следовательно, искомое уравнение

= 0. (1.3)

 

Взаимное расположение двух плоскостей

 

Пусть даны две плоскости

А1х + В1у + С1z + D1 = 0,

А2х + В2у + С2z + D2 = 0.

Первая плоскость имеет нормальный вектор (А1; В1; С1), вторая плоскость (А2; В2; С2).

Если плоскости параллельны, то векторы и коллинеарны, т. е. = l для некоторого числа l. Поэтому

– условие параллельности плоскости.

Условие совпадения плоскостей:

,

так как в этом случае умножая второе уравнение на l = , получим первое уравнение.

Если условие параллельности не выполняется, то плоскости пересекаются. В частности, если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и векторы , . Поэтому их скалярное произведение равно 0, т. е. = 0 или

А1А2 + В1В2 + С1С2 = 0.

Это необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей.

Угол между двумя плоскостями

 

Угол между двумя плоскостями

А1х + В1у + С1z + D1 = 0,

А2х + В2у + С2z + D2 = 0

– это угол между их нормальными векторами и , поэтому

cosj = = .

Прямая в пространстве

Векторно-параметрическое уравнение прямой

Определение 1.2. Направляющим вектором прямойназывается любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.

Рисунок 1.2
Составим уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0; у0; z0) и имеющей направляющий вектор = (рисунок 1.2). Отложим из точки М0 вектор . Пусть М(х; у; z) – произвольная точка данной прямой, а – её радиус-вектор точки М0. Тогда , , поэтому . Это уравнение называется векторно-параметрическим уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

В векторно-параметрическом уравнении прямой перейдёт к координатным соотношениям (х; у; z) = (х0; у0; z0) + t. Отсюда получаем параметрические уравнения прямой

,

, (1.4)

.

Канонические уравнения прямой

Из уравнений (1.4) выразим t:

t = , t = , t = ,

откуда получаем канонические уравнения прямой

 

= = . (1.5)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть даны две точки М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2). В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор = (х2 – х1; у2 – у1; z2 – z1). Поскольку прямая проходит через точку М1(х1; у1; z1), то её канонические уравнения в соответствии с (1.5) запишутся в виде

. (1.6)

 

Угол между двумя прямыми

Рассмотрим две прямые с направляющими векторами = и . Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, поэтому

сosj = = . (1.7)

Условие перпендикулярности прямых:

.

Условие параллельности прямых:

l,

т. е.

. (1.8)