Основні вимоги до побудови мереж трилатерації 4 класу та І і II розрядів

Показники	4 клас	І розряд	II розряд
Довжина сторони трикутника, км	2-5	0,5-5	0,25-3
Мінімальна допустима величина кута трикутника, °	ЗО
Гранична довжина ланки трикутника між вихідними сторонами або між вихідним пунктом і вихідною стороною, км	14,0	7,0	4,0
Максимальна довжина вихідної сторони, км	2,0	1,0	1,0
Відносна середня квадратична похибка вимірювання сторони мережі	1:120000	1:80000	1:40000

Нам залишилося розглянути основні вимоги до побудови тріангуляційних мереж 4 класу та І і II розрядів. За геометричною формою мережі тріангуляції такі самі, як і мережі трилатерації, але у трилатерації вимірюють тільки довжини сторін, а в тріангуляції - кути і хоча б одну (дві для контролю) сторони.

Мережі побудови тріангуляції 4 класу та І і II розрядів подано на рис. II. 1.7.

Ланка трикутників повинна спиратися на два вихідні геодезичні пункти (бажано на початку і у кінці ланки) і на дві сторони, що прилягають до цих пунктів.

Суцільна мережа тріангуляції повинна спиратися не менш ніж на три вихідні пункти і на дві вихідні сторони. Вихідними можуть бути сторони полігонометрії, трилатерації або тріангуляції вищих класів, а також сторони

Планові геодезичні мережі

Рис. II. 1.7. Схеми побудови тріангуляції 4 класу та І і II розрядів

Таблиця II. 1.7 Вимоги до побудови мереж тріангуляції 4 класу та І і II розрядів

Показники	4 клас	І розряд	II розряд
Довжина сторони трикутника, не більше за, км
Мінімальна допустима величина кута, °	у суцільній мережі
сполучного кута в ланці трикутників
у вставці
Кількість трикутників між вихідними сторонами або між вихідними пунктами і стороною, не більше за
Мінімальна довжина вихідної сторони, км
Граничне значення середньої квадратичної похибки кута (обчисленого за нев'язками трикутників), "
Допустима нев'язка у трикутнику, "
Відносна похибка вихідної базисної сторони, не більше за	1:200000	1:50000	1:20000
Відносна похибка визначення сторони у найслабшому місці, не більше ніж	1:50000	1:20000	1:10000

Розділ І!

розрядної тріангуляції, якщо її довжина не коротша за 1 км, а точність її вимірювання не нижча від зазначеної у табл. II. 1.7. У цій самій таблиці подано основні вимоги до побудови мереж тріангуляції 4 класу та І і II розрядів.

Розрядні мережі полігонометрії, трилатерації, тріангуляції 4 класу та І і II розрядів будують з метою згущення геодезичних мереж до щільності, що забезпечує знімальну основу великомасштабного знімання. Проте найпоширенішим із цих трьох методів є полігонометрія. Тріангуляцію застосовують тільки на відкритій і гірській місцевості або якщо (з будь-яких причин) застосування полігонометрії неможливе. Своєю чергою, трилатерацію застосовують тоді, коли (з будь-яких причин) неможливі кутові вимірювання. Крім того, оскільки в полігонометрії виконують як лінійні, так і кутові вимірювання, а в трилатерації - тільки лінійні, у тріангуляції - тільки кутові, тоді з методичного погляду достатньо детально розглянути технологію створення полігонометричних мереж, щоб навчити майбутнього інженера виконувати побудову мереж тріангуляції та трилатерації. Зауважимо, що метод полігонометрії, відповідно до основних положень створення ДГМ України, не використовується для побудови астрономо-геодезичних мереж 1 класу (АГМ-1), на відміну від основних положень, прийнятих у СРСР.

Проте цей факт не говорить про зменшення інтересу геодезистів до полігонометрії. З появою світловіддалемірів можливості продуктивності та точності полігонометрії значно зросли. Відмова в основних положеннях України від полігонометрії під час створення державних геодезичних мереж 1 класу обгрунтована появою супутникового методу створення високоточних мереж, який значно досконаліший за полігонометрію, особливо під час вимірювання значних довжин ліній в сотні кілометрів. Проте полігонометрія залишається ефективною під час створення геодезичних мереж спеціального призначення. До таких мереж належать:

• просторові геодезичні мережі на геодинамічних полігонах;

• спеціальні мережі геодезичного забезпечення будівництва та виконання спостережень за деформаціями, насамперед унікальних споруд, таких, наприклад, як прискорювачі елементарних частинок;

• спеціальні мережі вивчення рухів земної кори у регіонах видобування корисних копалин;

• спеціальні мережі в сейсмоактивних регіонах для прогнозування землетрусів, запобігання природним та техногенним катастрофам.

Такі мережі відіграють важливу роль у прогнозуванні майбутнього планети Земля, у збереженні чистоти довкілля та у житті людства.

Вищенаведені параметри побудови мереж згущення такі, як вимагає цього чинна інструкція [5]. Проте враховуючи, що сьогодні зростають обсяги

Планові геодезичні мережі

топографічного знімання у масштабах 1:2000, 1:1000, 1:500, а інколи (1:200, 1:100), мережі згущення потребують кардинальної реконструкції, оскільки вони не забезпечують вимог великомасштабного топографічного знімання.

Наприклад, хід полігонометрії 4 класу завдовжки 14 км, якщо кількість

^ms сторін и=15, а —=1:25000 та щ =5", матиме максимальну похибку всередині

ходу або нев'язку, що дорівнює М =0,44 м за допустимих похибок координат

пунктів М_до„

коорд' ^ЯКВД° знімання виконується в масштабах 1:2000, 1:1000,

1:500 відповідно 0,4 м, 0,2 м, 0,1 м. Сучасні методи вимірювання кутів, а

особливо ліній, дають змогу підвищити точність полігонометрії 4 класу до

М_доп=0,1 м з довжинами ходів до 8 км. Такі ходи можна будувати на основі

ДГМ згущення 3 класу (середня довжина сторін ДГМ 3 класу - 6 км). Тоді

немає потреби у мережах І та II розрядів, оскільки їх замінять теодолітні та

тахеометричні ходи лінійними вимірюваннями, виконаними електронними

методами.

//. 1.7. Класифікація полігонометрії

Полігонометрію класифікують за такими трьома ознаками:

I. Призначення.

II. Точність.

III. Спосіб вимірювання ліній.
Покажемо класифікацію на схемах.

Під траверсною полігонометрією розуміють таку, у якій прилади для вимірювання довжин безпосередньо вкладають у створі лінії, що вимірюється. Такими приладами в полігонометрії є підвісні мірні дроти та рулетки. У віддалемірній полігонометрії прилади для вимірювання довжин безпосередньо в створі ліній не вкладають. Лінії вимірюють посередніми методами. У віддалемірній полігонометрії, позначеній на схемі цифрами 1, 2, 3 визначають довжини сторін полігонометричного ходу посередньо; у віддалемірній полігонометрії, позначеній цифрами 4, 5, 6 створюють допоміжні геометричні побудови, у яких вимірюють не сторони ходу, а коротші відрізки-базиси; потім довжини сторін обчислюють аналітично. Геометричні побудови для визначення довжин сторін ходу називають полігонометричними ланками. У полігонометричних ланках базиси завжди розташовувалися перпендикулярно до сторін ходу. Тільки в ланках, запропонованих професором А.Д. Моторним [13], базиси є частинами ліній сторін ходу. Такі ланки названі новими ланками і віднесені до інших видів полігонометрії. У нових ланках до сторін ходу

Розділ II

встановлюють перпендикуляри значної довжини (довжини перпендикулярів не вимірюють). Це дає змогу позбутися гострих кутів у ланках полігонометрії без довгих базисів, що значно підвищує точність визначення сторін ходу. Зауважимо, що з появою електронних віддалемірів види полігонометрії 4, 5, 6 значно втратили актуальність. Це стосується і траверсної полігонометрії.

//. 1.8. Формули для обчислення кутових та лінійних нев'язок у ходах полігонометрії

Полігонометричні ходи, як і теодолітні, є кутомірними, у них вимірюють кути та лінії. Тому принципово полігонометричні та теодолітні ходи нічим не відрізняються. Різниця тільки в точності вимірювання як кутів, так і ліній. У полігонометрії ці вимірювання у десятки, а інколи в сотні разів точніші. Але формули для визначення нев'язок у полігонометричних і теодолітних ходах однакові. Виведемо ці формули, хоча вони вже виводились в курсі "Топографія".

Нехай на місцевості прокладено довільний полігонометричний хід (рис. II. 1.8).

Пункти Т_п та Т_к є одночасно початковим та кінцевим пунктами полігонометричного ходу Р_х та Р_п+]; зрозуміло, що ці пункти відповідно мають

Планові геодезичні мережі

однакові координати; и- кількість сторін ходу; (и + 1)- кількість кутів цього самого ходу. Відомі також дирекційний кути ліній А~Т_П і Т_к-В, які показані на рисунку відповідно ос_я та а^-. Будемо вважати відомі координати та дирекційні кути такими, що не мають похибок. Хід прокладено для визначення координат пунктів полігонометрії Р₂, Р^, ..., Р_п ■ Допустимо, у ході виміряні усі ліві кути (3,, зокрема межуючі Pj та Р_и+1, та довжини сторін S_t (і = 1, 2,..., п).

Рис. 11.1.9. Полігонометричний хід, прокладений між початковим Т_п та кінцевим Т_ктріангуляційними пунктами з відомими координатамиX_п , Y_n iX_K, Y_K

X $пр_п,_Л) і теоретичною (безпомилковою) сумою цих кутів ]£ Рг_я,_Яч ■> тобто:

Як відомо, кутова нев'язка /д - це різниця між практичною сумою кутів, тобто між сумою виміряних кутів полігонометричного ходу (правих або лівих)

(II. 1.2)

П(Л) *->^ГІП(Л)

Виникає запитання: як знайти теоретичну суму кутів? Користуючись відомою залежністю між дирекційними кутами а,- та кутами повороту Р₍-, можемо записати для виміряних

лівих кутів:

правих кутів:

(II. 1.3) (II. 1.4)

Розділ II

Формули (II. 1.3) і (II. 1.4) справедливі тільки за умови, що суми кутів без похибок, тобто є теоретичними сумами.

Розв'яжемо ці формули стосовно теоретичних сум кутів. Одержимо:

(II. 1.5)

(II. 1.6)

Підставивши значення теоретичних сум кутів з формул (II. 1.5) та (II. 1.6) у формулу (II. 1.2), отримаємо кінцеві формули для визначення кутових нев'язок, як у разі вимірювання лівих, так і правих кутів.

(II. 1.7)

(ІІ.1.8)

Знаючи нев'язки, введемо у виміряні кути (З,- поправки, а також знайдемо дирекційні кути усіх ліній ходу. Потім, використовуючи виміряні значення ліній Sj, обчислимо прирости координат Ах₍ та Ду, і знайдемо практичні суми

приростів координат, а також координати Х'_к та Y'_K

кінцевої точки ходу Р„'₊₁. На рис. II. 1.8 точка Р„'₊₁ не збігається з точкою Р_п+1.

Отже, обчислені координати кінцевої точки Р„'₊₁ виявляться не такими, як відомі координати точки Р_п+Х - Х_к, Y_K . Відрізок Р_п+1 - Р„'₊₁ позначимо f_s. Це абсолютна нев'язка ходу. Спроектуємо f_s на координатні осі X та Y. Отримаємо нев'язку по осях: f_x та f . Отже, рис. її. 1.8 дає геометричну інтерпретацію нев'язки: виявляється, /^.та f є катетами прямокутного трикутника Р_п+1 Р„'₊₁ N. Гіпотенуза цього трикутника -f_s. Абсолютні нев'язки по осях /_х та / полігонометричного ходу можна знайти за різницями практичних та теоретичних сум приростів координат

Враховуючи, що , зможемо записати

кінцеві формули для визначення

Планові геодезичні мережі

Л=1>_;яР-(%-*л); (п.1.9)

/у='Ї^Уі_пр-(Ук-Уп)- (П.1.10)

//. 1.9. Поздовжні та поперечні похибки витягнутого полігонометричного ходу

Нехай маємо висячий, рівносторонній, витягнутий хід (кути повороту (З, витягнутого ходу близькі до 180°), див. рис. П.1.10.

Висячим називають хід, що має тільки одну точку з відомими координатами, зазвичай на початку ходу.

Рис. II. 1.10. До пояснення причин поздовжніх t та поперечних и похибок висячого, витягнутого, рівностороннього полігонометричного ходу

Нехай безпомилкове положення кінцевої точки ходу - Р_п+1. Якщо потім на плані графічно побудувати хід за виміряними лініями та кутами, то в результаті похибок вимірювань (результатами похибок графічних побудов нехтуємо) кінцева точка ходу займе деяке інше положення -Р„'_+] ',/$- абсолютна нев'язка ходу. Проте, оскільки хід витягнутий, то похибки вимірювання ліній можуть викликати зсув кінцевої точки Р_п+1 тільки вздовж ходу [18,21] (праворуч або ліворуч). На рис. П.1.9 цей зсув позначимо t. Своєю чергою, похибки вимірювання кутів здатні викликати тільки поперечний зсув кінцевої точки ходу (вверх або вниз). На рис. П.1.9 цей зсув позначимо и. З прямокутного трикутника P_n₊_X N Р^_+] можемо записати:

Своєю чергою, як це видно з попереднього рис. II. 1.8:

fs ~ fx ⁺ /у ■

Розділ II

Оскільки ліві частини рівнянь однакові, то рівні також їхні праві частини:

(II. 1.11)

Остання формула важлива, як контрольна, для обчислення параметрів f_x , /у, t та «.

//. 1.10. Основні розрахункові формули очікуваних поздовжніх похибок траверсних та віддалемірних полігонометричних ходів

Нехай в лінії S траверсної полігонометрії мірний прилад завдовжки / вкладається п разів (рис. II. 1.11). Припустимо, що діють тільки випадкові похибки вимірювання. Тоді маємо підставу, враховуючи одноманітність відкладання, вважати ці похибки однаковими. Позначимо їх m_b (b- випадкові).

S = l + l + l + ... + l («разів), (ІІ.1.12)

то

Оскільки

т\=т^г_ьп. (II. 1.13)

n = -. (II.1.14)

або

Знайдемо п :

Тоді можемо записати

Щ_ь="ь-7- (П.1.15)

Планові геодезичні мережі

^mS_b^=mb-—n-- (II. 1.16)

або

Позначимо —=■ = |І - коефіцієнт випадкового впливу (випадкова похибка

у/І

на одиницю довжини). Справді, приймаючи / = 1, маємо \l = m_b . З цим позначенням формула (II. 1.16) набуває вигляду:

(II. 1.17) Для ходу завдовжки L, за аналогією, запишемо:

(II. 1.18)

Далі, припустимо, що під час вимірювання тієї самої лінії завдовжки S діють тільки систематичні похибки т_с (такі похибки не змінюють знака).

Запишемо: S = nl. Тоді m_s -nm_c, або

(II. 1.19)

Позначимо

(II. 1.20)

X- коефіцієнт систематичного впливу (систематична похибка на одиницю довжини). Справді, якщо / =1, тот_с =Х.

З цим позначенням формула (II. 1.19) набуде вигляду:

(II. 1.21)

Для ходу завдовжки L матимемо:

m_Lc=X-L. (II. 1.22)

Фактично під час вимірювання одночасно діють випадкові та систематичні похибки, і ми можемо записати, враховуючи, що поздовжній зсув витягнутого полігонометричного ходу t — m_L:

t²=m_L² =u.² -L + X² L. (II.1.23)

Для підвісних мірних приладів відомі коефіцієнти ц та А,. Тому на основі формули (II. 1.23) ще до вимірювання, наперед (апріорно) можна розрахувати очікуваний поздовжній зсув /.

Розділ II

Далі виведемо формули очікуваних поздовжніх похибок віддалемірної полігонометрії. У геодезичній практиці найпоширеніша світловіддалемірна полігонометрія, менше - радіовіддалемірна.

Вимірювання ліній світло- та радіовіддалемірами має одну важливу відмінність від вимірювання ліній підвісними приладами у траверсній полігонометрії. У траверсній полігонометрії мірний прилад, який має постійну довжину (температурними впливами на зміну довжини приладу будемо тут нехтувати), вкладається в лінії п разів і похибки кожного відкладання можна вважати однаковими.

У світло- і радіополігонометрії вимірюють не частини, а цілі лінії, що мають різні довжини. Зміняться і похибки, що виникають під час вимірювання. Тому для апріорних розрахунків точності таких вимірювань потрібно знати не тільки характер впливів (випадковий чи систематичний), але й залежність або незалежність джерел похибок від довжини лінії S. Отже, усі похибки у світлорадіовіддалемірних вимірах поділяють на чотири групи:

Проте усі ці похибки залежні від довжини ходу L (від кількості сторін ходу п). Випадкові пропорційні до (пропорційні до \Jn ), а систематичні

пропорційні до L (пропорційні до п). Тому загальну формулу для окремих ліній m_s та ходу m_L можна записати так:

(II. 1.24)

(II. 1.25) Надалі, у п. "Світловіддалемірна полігонометрія" буде показано, що існує

сім основних джерел похибок, які діють на вимірювання електронними (світло

та радіо) віддалемірами:

1. Похибка приведення ліній до горизонту (m_s ). Похибка випадкова,

залежить переважно від характеру рельєфу (більша - у горбистій місцевості, менша - у рівнинній). Значно менше залежить від довжини лінії.

Планові геодезичні мережі

2. Похибка вимірювання різниці фаз (m_s ). Похибка випадкова,

незалежна від S.

3. Похибка визначення сталої віддалеміра (m_s ). Похибка діє під час

вимірювання, як систематична, безпосередньо не залежить від довжини лінії, накопичується прямо пропорційно до кількості ліній ходу, а отже, посередньо залежить від довжини ходу.

4. Похибка визначення циклічної поправки фазометра (m_s ). Величина

цієї поправки залежить від тієї частини різниці фаз, що компенсується фазообертачем, тобто від значення відліку фазометра. Отже, поправка - змінна величина. Похибка визначення цієї поправки - m_s . Ця похибка випадкова, не

залежить від S.

5. Похибка відхилення основної частоти віддалеміра від заданої номінальної частоти (m_s ). Похибка систематична, залежить від S.

6. Похибки центрування приймача та редукції відбивача для світловід-далемірної полігонометрії (т ). Ці похибки діють сумісно і тому об'єднані в

одну. Ця сумісна похибка випадкова і не залежить від S.

7. Похибка робочої швидкості ЕМХ (світлова хвиля - для світло-
віддалемірів, радіохвиля для радіовіддалемірів) (m_s ). Похибка залежить від S

і має переважно систематичний характер. Це тому, що хвиля зазвичай проходить над поверхнею землі вище ніж середнє значення висоти, на якій виконують вимірювання метеопараметрів: біля випромінювача та приймача ЕМХ, а густина повітря (показник заломлення повітря) змінюється з висотою.

Отже, розділивши усі сім похибок за їхнім характером на чотири групи, можемо записати:

(II. 1.26)

Враховуючи формули (II. 1.26), можемо (II. 1.24) та (II. 1.25) записати в розгорнутому вигляді:

³ Дір M<p+ m_s ² ■ L² + m_s² ■ L² + m_s²l} . (II. 1.28)

™_S² = Щ? ■ S + m_s ² + m_s² + m^_p² + m_s² ■ S² + m_s² ■ S + m_s². (II.1.27)

Розділ II

Формули (II. 1.27) та (II. 1.28) є строгими, але неприйнятними для попередніх розрахунків, оскільки в них усі сім похибок невідомі. Проте, як бачимо, три похибки m_s , m_s , т_ц є випадковими та не залежать від S, а

m_s також випадкова й істотно залежить від рельєфу і мало залежить від S.

Отже, практично усі чотири випадкові похибки не залежать від S. Усі три систематичні похибки залежні від довжини лінії або довжини ходу. Тому з незначними неточностями можемо усі похибки об'єднати в дві групи: випадкові, суму яких позначимо Ц, та систематичні, суму яких позначимо X. Тоді:

Отже, для деякої лінії S знайдемо очікувану похибку за формулою

(II. 1.29)

Відповідно для ходу будемо мати:

(II. 1.30)

Порівнюючи (II. 1.23) для ходу завдовжки L траверсної полігонометрії з (II. 1.30) для світловіддалемірної полігонометрії такої самої довжини L, зауважимо, що вони ідентичні.

Проте фірми, що виготовляють прилади, та інструкція [5] рекомендують визначати очікувані похибки вимірювання ліній електронними віддалемірами, використовуючи рівняння прямої регресії

(II. 1.31)

У (II. 1.31) цта X у міліметрах, S у кілометрах.

Для ходу чинна інструкція пропонує формулу

(II. 1.32)

Як бачимо (II. 1.31), не враховує, що деякі джерела випадкових і систематичних похибок можуть мати протилежні знаки і компенсуватися. Формула додає похибки незалежно від їхніх знаків. Тому формула буде прогнозувати більші похибки в лінії, ніж насправді. Навпаки (II. 1.32), для ходу допускає, що усі похибки накопичуються як випадкові. Тому ця формула буде прогнозувати змінні похибки для ходів однакової довжини з різною кількістю сторін. Покажемо це на конкретному прикладі. Для сучасних віддалемірів (і.

змінюється у межах 5-30 мм, а А, - у межах 2-10 мм на 1 км. Нехай довжина лінії S = 1 км, а [і = 20 мм, Х= 5 мм. Тоді за (II. 1.29):

m_s² = 20² + 5² = 20,6 мм.

Планові геодезичні мережі

За формулою регресії (II. 1.31) маємо:

Як бачимо, різниця незначна, а оскільки застосування формули регресії дещо збільшує, а не зменшує очікувану похибку, то для попередніх розрахунків такий спрощений метод можна використовувати. Дослідимо, як зміниться суть для конкретного ходу. Нехай полігонометричний хід складається з п = 14 ліній, S = 1 km, L=14 км - максимальна допустима довжина ходу.

Тоді, за точнішою формулою (II. 1.30) маємо:

За (II. 1.32) матимемо:

Результат справді дещо менший, хоча й незначно. Проте під час зміни довжини ліній цей результат буде змінною величиною. Справді, нехай S - 250 м, тоді для L = 14 км, п= 56. Тому відповідно матимемо для лінії: за точною формулою (II. 1.29) m_s = 20,04 мм; за формулою регресії (II. 1.31) m_s = 21,25 мм. Для ходу за точною формулою (II. 1.30) результат не зміниться, m_L = 102,5 м.

За формулою (II. 1.32) матимемо:

Як бачимо, похибка на 1/3 більша від очікуваної.

Отже, для розрахунків похибок ходів краще користуватися формулою (II. 1.30). Проте для оптимальної довжини сторін S = 500 м, матимемо п = 28,

am_L- 22,5 мм • V28 = 119,06 мм. Тепер результат завищений тільки на 16 %.

Необхідно зробити ще два зауваження. По-перше, подані вище розрахунки очікуваних похибок враховують тільки похибки вимірювання довжин, але не враховують похибки вихідних даних (похибки відомих координат початкової та кінцевої точок ходу). Ці похибки можуть змінити апріорно розраховані нев'язки. По-друге, отримані похибки m_s та m_L є середніми квадратичними. Допустимі похибки приймаються як подвійні середні квадратичні.

11.1.11. Виведення розрахункової формули поперечної похибки висячого полігонометричного ходу

Для спрощення виведення знову будемо розглядати витягнутий, рівно-сторонній хід.

Нехай, під час вимірювання кута (3, зроблена похибка щ , а усі інші кути

(З, - безпомилкові. Тоді хід повернеться на кут щ і кінцева точка ходу

Розділ II

зсунеться на щ . Насправді, похибки то можливі і в усіх інших кутах і, відповідно, матимемо зсуви и₂, м₃, ... и_п. На рис. II. 1.12 зображено випадок, коли усі виміряні кути більші від безпомилкових надир , тобто коли діють однакові систематичні кутові похибки; насправді похибки та випадкові, змінюють

знаки. Зсуви и, також будуть з різними знаками. Тому для визначення загального поперечного зсуву необхідно додавати квадрати окремих зсувів.

Рис. II. 1.12. До розрахунку поперечного зсуву кінцевої точки висячого полігонометричного ходу

(II. 1.33)

Будемо розглядати щ як дугу, описану радіусом L = S n. Тому

(II. 1.34)

та т_а

За аналогією: щ = —у ■ S ■ (п -1)... и = —■ ■ S .
Р Р

Відповідно до (II. 1.33) матимемо:

_м²=-^.5²[и²+(и-1)²+... + 1²]. (И.1.35)

У (И.1.35) у квадратних дужках сума квадратів натурального ряду чисел

. , . и(и + 1Х2л + 1)
від 1 до п, яка дорівнює:----------------- .

Планові геодезичні мережі

Враховуючи це, перетворимо рівняння (II. 1.36), помноживши і розділивши його праву частину на п. Матимемо:

(II. 1.36)

Далі запишемо (II. 1.36) так:

(II. 1.37)

Перетворимо частину чисельника (II. 1.37), нехтуючи одиницею:

(п + \)(2п +1) = 2п² + п + 2п +1 = 2п² + Зи = п{2п + 3) . Тоді формула (II. 1.36) набуде вигляду:

(II. 1.38)

Розділивши чисельник та знаменник правої частини (II. 1.38) на 2, отримаємо:

Отже,

(II. 1.39)

Перейдемо до загальної похибки М у положенні кінцевої точки ходу:

M²=t²+u². (II. 1.41)

Але поздовжній зсув відповідно до формули (II. 1.30) складається із випадкових та систематичних похибок:

(II. 1.42)

Технологія вимірювання ліній забезпечує зменшення систематичних похибок до мінімуму. Тоді, нехтуючи систематичними похибками, загальну похибку М можна описати формулою

(II. 1.43)

Перейдемо до відносної похибки

⁽М ^ и² Щ² « + 15

т) =т⁺т^' ⁽^ILL⁴⁴⁾

Розділ II

Виразимо коефіцієнт випадкового впливу \і через похибки лінійних вимірів. На підставі (II. 1.17) запишемо:

(II. 1.45) Звідси:

(II. 1.46)

Підставимо значення д² з (II. 1.46) у (II. 1.44) і отримаємо:

m_s

( М ^ с т»² и +1 5

_5_ JL.^Ziii. (II. 1.47)

або

₊ тр_п + 11 (ц.1.48)

nS ~'²

Формулу (II. 1.48) широко використовують під час апріорних розрахунків очікуваних похибок, оскільки для розрахунків необхідно знати тільки відносну

- . . •„ Щ '

похибку вимірювання ліній —— та похибку вимірювання кутів т^ .

11.1.12. Виведення формули поперечної похибки полігонометричного ходу з попередньо ув'язаними кутами

Якщо полігонометричний хід прокладено між пунктами з відомими координатами та дирекційними кутами, то максимальний поперечний зсув ходу буде всередині ходу. Для парної кількості сторін я, для точки Р_п всередині

ходу, що має помилкове положення, будемо мати, відповідно, зсуви щ та и₂, якщо рухатися від початку ходу до середини та навпаки, від кінця ходу до середини, як показано нарис. II. 1.13.

Виведення відповідної формули спроститься, якщо цей хід розглядати як два незалежні, висячі ходи, оскільки формулу для висячих ходів ми вже маємо.

Для парної кількості сторін будемо мати п_х = п₂ - —, де п_х та п₂ - кількість

сторін першого та другого висячих ходів. Логічно записати, що щ =и₂. Загальний зсув становитиме:

и² = щ² + и₂ = 2щ² = 2и₂ . (II. 1.49)

Планові геодезичні мережі

На рисунку:

- безпомилкове розміщення середньої точки;

- розміщення точки, якщо її координати обчислювались від

початкової точки ходу Т_п ;

- розміщення точки, якщо її координати обчислювались від кінцевої

точки ходу Т_к.

(II. 1.50)

На основі (II. 1.35) можемо записати:

Оскільки щ — —, то:

(П.1.51)

Спростимо (П.1.51), помноживши та розділивши праву частину на 2:

(II. 1.52) Якщо помножимо та розділимо праву частину на п, то одержимо:

(II. 1.53)

Розділ II

або

, та² . (л + і)(л + 2) ²=-V-Z,²^--------- ^------ '-. (II. 1.54)

#2 и~ --Р"

Перетворимо праву частину чисельника рівняння (II. 1.54), нехтуючи двійкою (це майже не спотворить результату. Справді, для л = 10 точний результат 132, наближений 130).

(л + 1)(л + 2) = л² + 2л + п + 2 ~ п² + Зл = л(л + 3) . Підставивши отриманий результат, будемо мати:

и* =_£-.£«:—.. (П. 1.55) р Отже,

.2 __ ^т$ _Т2 Я + З

_м=я| л+3 р* V 12

Порівняємо поперечні зсуви висячого ходу та ходу такої самої довжини, прокладеного між точками з відомими координатами. Для цього достатньо порівняти формули (II. 1.40) та (II. 1.56), вони відрізняються тільки підкорінним дробом. Не будемо звертати увагу на різницю в чисельниках. Знаменник 12 формули (II. 1.56) розкладемо на 4 і 3 і запишемо:

1 Щ Іл + 3

⁷ І (II. 1.57)

2 р" \ З Отже, поперечний зсув такого ходу практично зменшується вдвічі.

//. 1.13. Полігонометричні знаки

Кінцевий проект геодезичної мережі пунктів затверджують після рекогностування. Головними завданнями рекогностування є:

• уточнення проекту мережі;

• остаточний вибір трас полігонометричних ходів;

• остаточний вибір місць закладання пунктів;

• остаточний вибір типів знаків, якими закріплюють геодезичні пункти мереж тріангуляції, трилатерації, полігонометрії.

Під час рекогностування вибрані місця для закладання пунктів закріплюють тимчасовими знаками (кілками, металевими штирями, обкопуванням тощо), і на них складають абриси з прив'язуванням до постійних місцевих предметів не менш ніж трьома промірами. Під час закладання знаків проміри уточнюють. Оскільки уся територія України розміщена в зоні сезонного

Планові геодезичні мережі

промерзання ґрунтів, то широко застосовуються знаки, призначені саме для таких умов. Знаки для сезонного промерзання ґрунтів мають нижній та верхній центри, верхній центр закладають нарівні з асфальтом або землею, з якої знято дерен. Такий знак показано на рис. II. 1.14.

tea* асфальт

-an

Рис. II. 1.15. Центр пункту

полігонометрії, тріангуляції,

трилатерації 4 класу 1 і 2 розрядів для

міст Києва, Севастополя і обласних

центрів (тип У15к)

Рис. II. 1.16. Центр пункту

полігонометрії, тріангуляції,

трилатерації 4 класу 1 і 2 розрядів для

забудованих територій, райцентрів,

міст, селищ, сільських населених пунктів

(тип У15)

Розділ II

Часто застосовують видозмінений знак, що має тільки один центр. Такий центр закладають нижче від рівня землі, а зверху закривають чавунним ковпаком із кришкою. Кришка розташована нарівні з асфальтом або землею зі знятим дерном. Такий знак показано нарис. II. 1.15.

Ці знаки закладають у великих містах та обласних центрах. Для забудованих територій, райцентрів, міст, селищ, сільських населених пунктів застосовують дещо інший тип знака, показаний на рис. II. 1.16.

У місцях суцільних забудов широко застосовують настінні знаки полігонометрії. Такий знак показано на рис. II. 1.17.

Рис. II. 1.17. Стінний знак пункту полігонометрії 4 класу, 1 і 2 розрядів (тип 143)

Настінні знаки полігонометрії закладають по одному (одинарні), а також по два (подвійні) та по три (потрійні). Стінні знаки (за статистичними даними) зберігаються на порядок більше років, ніж грунтові.

На пунктах мереж тріангуляції, трилатерації, інколи полігонометрії, що створюються як основа великомасштабного знімання, для забезпечення видимості між сусідніми центрами установлюють зовнішні геодезичні знаки таких типів: металеві піраміди-штативи з візирними цілями, що знімаються, чотиригранні металеві піраміди (див. рис. II. 1.18, II. 1.19, II. 1.20).

Планові геодезичні мережі

Рис. 11.1.18. Чотиригранна піраміда (з кутової сталі)

Рис. II. 1.19. Піраміда-штатив з кутової сталі (50x50x5 або 35x35x4) з малофазною візирною ціллю, що знімається, з висотою до інструментального столика від 1,2 до 4,0 м

Рис. 11.1.20. Металевий переносний

майданчик для спостереження з пірамід-

штативів виготовляється з кутової

сталі (50x50x5 і 35x35x4)

Рис. II. 1.21. Г-подібна віха (дерев'яна або металева)

Використовують також Г-подібну віху (рис. II. 1.21).

Розділ II

Візирні цілі геодезичних знаків повинні бути малофазними та мати такі розміри: висота візирного циліндра - 0,5 м, діаметр - 0,25 м. Віддаль від інструментального столика до нижнього диска візирного циліндра повинна бути не меншою за 0,8 м. Малофазна циліндрична поверхня створюється краями радіально розташованих планок, що прикріплені до дисків. Відхилення проекцій центрів візирного циліндра і столика для приладу від центрів пункту повинні бути не більшими за 5 см.

//. 1.14. Організація полігонометричних робіт

Назвемо, насамперед, основні види робіт під час створення полігонометричних мереж у послідовності їхнього виконання:

1. Складання проекту.

2. Рекогностування, вибір місця закладання та типів знаків.

3. Закладання знаків.

4. Дослідження та перевірки приладів.

5. Прив'язування пунктів майбутньої (запроектованої) мережі до пунктів державної мережі.

6. Лінійні вимірювання.

7. Кутові вимірювання.

8. Лінійні і кутові вимірювання можуть виконуватися окремо або одночасно.

9. Попередні обчислення. Обчислення робочих координат.

10. Виконання зрівноваження.

11. Оцінка точності виміряних та зрівноважених величин.

12. Складання каталогу координат.

13. Складання технічного звіту.

Під час проектування ходів потрібно, відповідно до умов на місцевості, прокладати їх, якщо можливо, прямолінійно. Якщо виникає необхідність, допускають викривлення ходу, проте з метою досягнення більшої точності треба дотримуватися правила, щоб хід якомога менше відхилявся від основного напрямку. Хід ABCDE, пункти якого ближче до основного напрямку АЕ, за інших однакових умов, наприклад, за однакового периметра, необхідно вважати точнішим, порівняно з ходом GHK, який має тільки один згин (див. рис. II. 1.22), а точка значно віддалена від напрямку KG.

Як видно з (II. 1.48), зі збільшенням довжини ходу настає момент, коли другий член у правій частині формули перевищить перший і буде вирішальним щодо точності. Зрозуміле бажання знайти спосіб зменшити вплив похибок кутових вимірювань. Для досягнення цієї мети вибирають через декілька точок повороту ходу пункти з розрахунком забезпечення їхньої взаємної видимості.

Планові геодезичні мережі

Наприклад, на рис. II. 1.23 між пунктами тріангуляції Т_п і Т_к вибрано пункти Е і F так, щоб з точки Е було видно точку Т_п, і навпаки, з точки F -точку Т_к . Такі пункти (тут пункти Е і F ) називають головними пунктами ходу або полігона. Для забезпечення взаємної видимості в таких пунктах, за необхідності, встановлюють піраміди або піраміди-штативи, а кути повороту між створеними лініями Т_п Е та іншими вимірюють найстаранніше; окрім звичайних кутів повороту, вимірюють ще й кути В_х, В₂, В₃ та В₄. Це дає змогу передати дирекційні кути на лінії, використовуючи менше кутів повороту і цим зменшити кутову нев'язку.

Е К

Рис. 11.1.23. Підвищення точності передавання дирекційних кутів

Під час прокладання полігонометричного ходу доцільно визначати по обидві сторони ходу положення пунктів А, В, С, D, Е, показаних на рис. II. 1.24. Ці пункти називають боковими пунктами.

Розділ II

Рис. 11.1.24. Визначення місцезнаходження бокових пунктів

Під час створення полігонометричної мережі треба, за змогою, уникати різної довжини сторін. Необхідно пам'ятати, що найслабшим місцем ходу, що спирається на дві відомі точки, є його середина. Тому, коли два ходи близько сходяться (менше за 2,0 км), середні точки Q та R цих ходів необхідно зв'язувати додатковими ходами. Так окремі ходи перетворюються на мережу ходів, як це показано на рис. II. 1.25.

z, Q

Рис. II. 1.25. Приклад перетворення двох ходів А-В таС -D на мережу з п'яти ходів

Завдяки ходу Q-R створена мережа з п'яти ходів з двома вузловими точками.

II.2. Лінійні вимірювання у траверсній полігонометрії

11.2.1. Прилади для вимірювання ліній у траверсній полігонометрії

У траверсній полігонометрії лінії вимірюють підвісними мірними приладами. У комплект таких приладів входять:

1. Сталеві або інварні дроти завдовжки 24 м або 48 м - не менше від двох.

2. Верстати із блоками для підвішування дротів - 2 шт.

Планові геодезичні мережі

3. Гирі по 10 кг для натягування дротів - 2 шт.

4. Тросики з карабінами для з'єднання гир із дротами - 2 шт. Тросики пропускають через блоки.

5. Штативи з оптичними центрирами - не менше від двох. Штативи центрують над кінцями лінії.

6. Штативи із ціликами, які встановлюють у створі ліній, що вимірюють, -8-10 шт.

7. Візирні марки - 1-2 шт.

8. Теодоліт зі штативом (точність не менша за 30") для встановлення штативів із ціликами у створ лінії.

9. Нівелір Н-3, Н-ЗК або інший зі штативом для визначення перевищень між сусідніми ціликами.

10. Двостороння нівелірна рейка - 1-2 шт.

11. Термометр-пращ для вимірювання температури дротів.

1=1о+(з+п) Рис. 11.2.1. Найпоширеніші типи шкал мірних дротів: І та II типи

Підставки до теодоліта, оптичних центрирів та візирних марок повинні бути універсальними (тобто такими, щоб на них можна було почергово встановлювати всі три названі прилади). На кінцях мірних дротів прикріплені шкали завдовжки 8-10 см із міліметровими поділками. Існують три типи шкал. На рис. ІІ.2.1 зображено шкали І та II типів. На цьому самому рисунку показано,

Розділ II

як визначають віддалі (відрізок лінії полігонометрії) між сусідніми ціликами. Цілики схематично показані стрілками (насправді, на верхньому зрізі цілика нанесено два взаємно перпендикулярні штрихи). Перетин штрихів на сусідніх ціликах означає початок та кінець кожного відрізка лінії.

Під час вимірювання ліній дротами з І типом шкал дріт має бути розташований так, щоб поділки на шкалах зростали в напрямку вимірювання лінії. Для дротів зі шкалами II типу будь-яка шкала може бути як задньою, так і передньою. У шкалах Ш типу нульові поділки - посередині шкал, а поділкам ліворуч і праворуч від нуля присвоюють знаки. Такі шкали не набули поширення.

На рисунку відліки шкал позначені:

задній відлік -з, передній -п, /₀- віддаль (по хорді) між нулями шкал, /-довжина відрізка лінії (похила) між сусідніми ціликами.

На рис. И.2.1 також подано формули, за якими визначають довжину відрізка / між сусідніми ціликами, залежно від типу шкал.

11.2.2. Виконання лінійних вимірювань підвісними мірними приладами

Нехай вимірний дріт, натягнутий гирями за гачки, що на кінцях шкал, завдяки тросикам, які пропущені через блоки спеціальних верстатів і шкали підняті на однакову висоту (рис. ІІ.2.2).

Рис. 11.2.2. Мірний дріт, підвішений на блочних верстатах і натягнутий гирями

Висоту дроту регулюють, змінюючи нахил блочних верстатів. Висота дроту має бути такою, щоб шкали доторкалися до ціликів і можна було вимірювати довжину / між сусідніми ціликами. Підвішений дріт завжди буде мати прогин, який залежить насамперед від сили натягу. Вимірювання підвісними приладами, запропоновані шведським геодезистом Едеріним, ґрунтуються на тій властивості, що під час постійного натягування дроту або мірної рулетки

Планові геодезичні мережі

довжина хорди /₀ (між нулями шкал) - практично стала. Цю хорду /₀ і приймають за довжину мірного приладу.

Бригада лінійних вимірювань поділяється на три ланки:

1. Ланка провішування - чотири особи. Завдання ланки - зцентрувати оптичні центрири над кінцями лінії, а також розташувати створні штативи в створі лінії (застосовуючи теодоліт) і на віддалях приблизно 24 або 48 м (залежно від довжини дроту), користуючись спеціальним дротом або тросом відповідної довжини. Керівник ланки, навівши трубу теодоліта на візирну марку, що на протилежному від теодоліта кінці лінії, повертає трубу тільки у вертикальній площині, задаючи створ. Два виконавці в створі розмічають відрізки по 24 м (48 м), натягнувши трос. Четверта особа ланки встановлює штативи так, щоб цілики були в створі лінії. Віддалі між суміжними ціликами також контролюються дротом або тросом.

2. Ланка вимірювання ліній - вісім осіб. Керівник робіт; два техніки, які одночасно, за командою керівника, беруть відліки задньої та передньої шкал; двоє робітників - тримають блочні верстати; двоє - підвішують, знімають та переносять гирі; старший технік - записує в журнал результати вимірювань, вимірює температуру повітря термометром-пращом. На окремому відрізку лінії вимірювання виконують так: подають команду: "підвісити дріт", техніки, що переносять дріт у натягнутому стані (дріт під час переходів до наступного відрізка не повинен торкатися землі) з'єднують дріт із тросиками та підтримують шкали так, щоб вони не бились об цілики. Далі команда: "приготувати гирі", потім через декілька секунд "гирі опустити". Коливання дроту під час натягування можна загасити легкими дотиками біля середини дроту. Під час вимірювань тільки техніки, що беруть відліки, злегка притримують шкали над ціликами без зусиль уздовж лінії, дріт повинен вільно провисати під своєю вагою. Далі подають команду: "Увага! Відлік!" Передній і задній техніки одночасно беруть відліки з точністю до 0,1 мм. Потім передній голосно називає свій відлік. Записувач записує в журнал П₁; тільки після цього задній технік, що запам'ятав свій відлік 3_1; голосно називає його. Візьмемо шкали І типу. Записувач розраховує: А₁=П₁-3₁. Дріт дещо (на 1-3 см) зміщують уздовж лінії, щоб змінити відліки шкал. Це робить передній технік. Далі відліки повторяють. Знаходять Д₂ = П₂ - 3₂, А₃ = П₃ - 3₃. Зрозуміло, відліки змінюються, а різниці відліків Aj, А₂, А₃ повинні бути майже однаковими. Допускають максимальне розходження між найменшими та найбільшими значеннями А 0,5 мм для /₀ ~ 24 м, та 1,0 мм для /₀ ~ 48 м. Якщо

Розділ II

ця умова не виконується, беруть три пари нових відліків. Якщо умова досягнута, подають команду: "гирі зняти", "дроти відчепити", "вперед". Ланка переходить до наступного відрізка лінії. На кожному відрізку виконують вимірювання температури одночасно з лінійними вимірюваннями.

3. Ланка нівелювання - 3 особи (нівелювальник, записувач, рейковик), методом геометричного нівелювання визначає перевищення h_t між сусідніми ціликами з контролем (по чорній та червоній стороні рейки). Допускають розходження до 5 мм, як і під час виконання технічного нівелювання; з однієї станції можна визначити 4 перевищення, якщо дріт 48 м, та 8 перевищень, якщо дріт 24 м. Максимальна довжина плеча становитиме ~ 100 м. Створні штативи можна знімати з місць тільки після закінчення нівелювання.

Отже, бригада вимірювання ліній у траверсній полігонометрії складається не менше ніж з 15 осіб (8 інженерно-технічних робітників і 7 робітників). Зауважимо, що цей вид геодезичних робіт вимагає найбільшої бригади серед усіх інших видів геодезичних робіт. Якщо послідовно встановлювати штативи у створі, виконувати лінійні вимірювання та нівелювання ціликів, тоді можна обмежитися мінімальною бригадою з 7 осіб. Але тоді час виконання вимірювань збільшиться майже втричі. Тому доцільною є описана організація робіт. Зауважимо, що встановлення штативів у створі інколи доцільно замінити кілками (товщина не менше за 5 см, висота - не менше ніж 1 м), які забивають у ґрунт. Тоді у верхні зрізи кілків забивають особливі металеві цілики, загострені в нижній частині.

У полігонометрії 4 класу виконують вимірювання одним інварним або сталевим дротом у прямому та зворотному напрямах, або двома такими дротами в одному напрямі. Кожний відрізок (без переходів) вимірюють одним і одразу ж іншим дротом. Це значно економить час, хоча необхідно ще двоє додаткових робітників, які тримають другий дріт напоготові розмотаним.

У полігонометрії І розряду вимірювання виконують одним інварним або сталевим дротом тільки у прямому напрямку. У полігонометрії II розряду -також одним сталевим дротом, тільки у прямому напрямку. Можна не брати відліки шкал, а фіксувати під час натягування розташування нульових поділок шкал (наприклад, цвяхами).

Під час вимірювання, як правило, дріт не вкладається в лінію цілу кількість разів. Є ще залишок, який називають доміром. Доміри вимірюють металевою рулеткою з міліметровими поділками, яку натягують так, що вона майже не провисає. Тому не допускають, щоб домір був довший за ¹Л довжини дроту. Якщо домір виявляється довшим, тоді на продовженні створу лінії встановлюють ще один штатив, виміряють цей відрізок, який наближено

Планові геодезичні мережі

дорівнює довжині дроту. У такому разі домір буде від'ємним. Отже, під час лінійних вимірювань бувають додатні і від'ємні доміри. Домір також приводять до горизонту. Для цього визначають перевищення між кінцями доміру.

11.2.3. Джерела похибок під час вимірювання ліній підвісними мірними

приладами

Будемо вважати, що діє тільки десять джерел похибок, а саме:

1. Компарування. Компарування виконують для встановлення фактичної довжини мірного дроту. Під час компарування неминуче буде деяка похибка, що має випадковий характер (знак похибки невідомий). Припустимо, що в результаті компарування знайшли рівняння дроту: /₀ = 24 м + 5,5 мм, якщо t ° = 15 °С. Нехай допустили випадкову похибку 0,2 мм, тобто насправді довжина дроту /₀ = 24 м + 5,7 мм, 1° = 15 °С. Похибка о, 0,2 мм під час вимірювання ліній стає систематичною, діє для кожного відкладання дроту з одним знаком (скорочує довжину дроту у наведеному прикладі).

2. Провішування. Неточне встановлення ціликів у створ лінії приводить до вимірювання лінії, довшої від прямої. Похибка а₂ систематична (подовжує лінію).

3. Натяг. Під час польових робіт масло, яким змащують осі блоків, забруднюється пилом, згущується: тертя блока з віссю збільшується. У результаті, навіть для тих самих гир, натяг зменшується, дріт провисає більше. Похибка а₃ систематична, подовжує лінію.

4. Вітер. Вітер, особливо боковий (діє під деяким кутом до напрямку лінії), додає дроту деякої ваги, збільшує провисання дроту. Похибка а₄систематична, подовжує лінію.

5. Нахил місцевості. Викликає нахил дроту. Виміряне перевищення h між сусідніми ціликами має випадкову похибку ± А₅ .

6. Температура. Під час вимірювання необхідно знати температуру дроту. Фактично вимірюють температуру повітря. Похибка ± Л₆ випадкова.

7. Нестійкість створних штативів. Приводить до випадкової похибки ± А₇ .

8. Похибка відліку шкал. Похибка ± Л₈ випадкова.

9. Похибка вихідних даних (координат). Впливає на величину нев'язки. Похибка ± А₉ випадкова.

10. Інші похибки. У цю групу ми зараховуємо сумарну (спільну) дію неврахованих джерел (наприклад, нахил шкал, похибка ланцюгової лінії, тобто зміна довжини від нахилу дроту тощо). Похибки ± А₁₀ випадкові.

Розділ II

Як ми вже знаємо, похибки лінійних вимірів витягнутого ходу приводять до поздовжнього зсуву кінцевої точки. Тому запишемо:

Припустимо, що всі похибки мають однакову абсолютну величину (тобто діє так званий принцип однакових впливів); врахуємо також, що похибки 2, 3, 4 діють з одним знаком:

(П.2.2)

11.2.4. Розрахунок допусків на окреме джерело похибок лінійних вимірів

Сумарну похибку М в місцеположенні кінцевої точки ходу вираховують за формулою

Продовжуючи принцип рівних впливів, приймемо: t = u , тоді:

Перейдемо до відносної похибки:

М 1 _е t4l u4l 1