Определение и основные свойства двойного интеграла
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
“Кратные интегралы”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2012
Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
Высшего профессионального образования
«Брянская государственная инженерно-технологическая академия»
Кафедра математики
УТВЕРЖДЕНЫ
Научно-методическим
Советом академии
Протокол № ____
oт “____”___________2012 г.
“Кратные интегралы”
Методические указания и задания к расчетно-графической работе для студентов всех направлений подготовки бакалавров
очной формы обучения
Брянск 2012
Авторы:
Камозина Олеся Владимировна
Козлова Ольга Николаевна
Рецензент: профессор каф. физики, к. физ.-мат. наук Евтюхов К. Н.
Рассмотрены УМК МТФ
Протокол № от
Введение
Обобщением определенного интеграла на случай функции нескольких переменных является кратный интеграл. К кратным интегралам приводит и решение многих практических задач: вычисление объема тела, массы плоской пластики и т.д.
В данных методических указаниях подробно рассматриваются двойной и тройной интегралы, их вычисление и приложения.
Студенту предлагается изучить соответствующий теоретический материал: определение и основные свойства, вычисление, замена переменных в двойном и тройном интегралах. Также необходимо ознакомиться с решением типовых задач по теме (изменение порядка интегрирования, вычисление двойного, тройного интегралов, нахождение площади, массы плоской пластинки, объема тела).
В конце методических указаний приведены 30 вариантов заданий для выполнения расчетно-графической работы, что позволяет проверить уровень усвоения материала по теме.
Двойной интеграл
Определение и основные свойства двойного интеграла
Рассмотрим в плоскости XOY замкнутую область D, ограниченную линией L. Пусть в каждой точке P(x,y) определена непрерывная функция z=f(P).
|
Разобьем область D произвольным образом на n частей ∆Si. В каждой из площадок выберем точку Pi и вычислим в ней значение функции zi =f(Pi). Составим сумму произведений вида f(Pi)∆Si:
.
Эта сумма называется интегральной суммой для функции z=f(P) в области D.
Диаметром di площадки ∆Si назовем наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой площадки.
Если при max di→0 интегральная сумма Vn имеет определенный конечный предел 
, не зависящий от способа разбиения области D на частичные области ∆Si и от выбора точек Pi внутри каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(P) в области D и обозначается таким образом
,
где f(x,y) – подынтегральная функция;
f(x,y)dS – подынтегральное выражение;
D – область интегрирования.
Основные свойства двойного интеграла.
1. 
;
2. 
;
3. 
где D= D1 U D2.