Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
Тема 1. Основы аналитической геометрии и линейные пространства.
Определение и примеры линейных пространств. Векторы. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис, координаты, размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису. Скалярное произведение векторов. Вычисление скалярного произведения векторов, заданных своими координатами. Вычисление длины вектора и расстояния между точками. Угол между векторами.
Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнения прямой и плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, прямыми, прямой и плоскостью.
Тема 2. Матрицы и системы линейных уравнений.
Матрицы и арифметические операции с матрицами. Понятие определителя n-го порядка. Определители квадратных матриц 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей и способы их вычисления. Элементарные преобразования матрицы. Ранг системы векторов, ранг матрицы и способы их вычисления.
Системы линейных неоднородных уравнений. Критерий совместности. Системы линейных однородных алгебраических уравнений, теорема о размерности пространства решений. Условия существования нетривиального решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и методом Крамера. Существование и нахождение обратной матрицы, матричные уравнения.
Тема 3. Понятие линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Отображения линейных пространств. Линейные отображения, их матрицы. Преобразование координат вектора и матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов.
Раздел 2. Математический анализ. Функции одной переменной.
Тема 4. Множества и функции
Понятие множества, элемента множества. Конечные и бесконечные множества. Алгебра множеств. Свойства операций объединения и пересечения множеств. Прямое произведение множеств. Бинарные отношения. Функция как закон соответствия между множествами. Свойства функции. Класс элементарных функций. Обратные функции. Суперпозиция функций. Функция многих переменных.
Тема 5. Последовательности и пределы последовательностей
Последовательность - функция натурального аргумента. Бесконечно малые последовательности. Определение бесконечно малой последовательности на языке «ε» — «N». Теоремы о свойствах бесконечно малых последовательностей. Бесконечно большие последовательности. Теоремы о величинах, обратных бесконечно большим и бесконечно малым. Предел последовательности. Определение предела последовательности на языке «ε» — «N». Свойства последовательностей, имеющих предел. Геометрический смысл предела последовательности. Теорема о единственности предела последовательности. Теорема о связи последовательности, имеющей предел, ее пределом и бесконечно малой. Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательности. Признаки существования предела последовательности. Замечательные пределы.
Тема 6.Функции одной переменной, основы теории пределов, непрерывность.
Предел функции. Основные теоремы о пределах. Порядок малости. Эквивалентные бесконечно малые функции и их использование при вычислении пределов.
Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций, непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке: теорема о промежуточном значении, 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса.