Нормальному, а мы этого не знаем. Поэтому формулой Стерд-
Жесса пользоваться не будем (в нашем случае она дает следу-
ющий результат k ≈ 5,3 ≈ 5).
Полученный группированный ряд приведен в табл. 6.5. В
Ней кроме разрядов, частот, относительных частот, приведены
Плотности частоты и теоретические вероятности, которые по-
Надобятся в дальнейшем.
Таблица 6.5
Разряды 75−80 80−85 85−90 90−95 95−100 100−105
μi — количество
Наблюдений,
Попавших в i-й разряд
2,5 2,5 4 6,5 1,5 3
0,125 0,125 0,2 0,325 0,075 0,15
0,025 0,025 0,04 0,065 0,015 0,03
Pi 0,069 0,161 0,245 0,245 0,161 0,069
Заметим, что ,
Где — плотность относительной частоты, т. е. отношение от-
носительной частоты к длине интервала Δ = xi − xi − 1 = 5 (в на-
Шем случае она для всех разрядов одинакова).
Имея группированный ряд (см. табл. 6.5), можно прибли-
Женно построить статистическую функцию распределения
. В качестве значений Х, для которых определяется ,
Возьмем границы разрядов. Статистическая функция распре-
деления для нашего примера приведена на рис. 6.1.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
75 80 85 90 95 100 105
0,125 0,125 0,2 0,325
0,075 0,15
x
Рис. 6.1
Теперь по группированному ряду (см. табл. 6.5) постро-
Им гистограмму, откладывая по оси абсцисс разряды, а по оси
Ординат соответствующие плотности относительных частот
В результате получим совокупность прямоугольников, пло-
Щадь каждого из которых равна соответствующей относитель-
ной частоте (рис. 6.2.).
Заметим, что гистограмму можно строить, используя и
частоты μi.
Теперь используя группированный статистический ряд,
Получим искомые числовые характеристики изучаемой слу-
чайной величины Х (количество ДТП), т. е. среднюю арифме-
Тическую и некоторые показатели вариации. В качестве веса
будем использовать относительную частоту f (частость) (мож-
Но использовать, как мы уже говорили, в качестве веса относи-
тельную частоту μi).
Вычислим среднеарифметическое весовое:
.
В качестве хi берем середину соответствующего интерва-
Ла. Заметим, что получилось таким же, что и по ранжиро-
Ванному ряду.
Находим дисперсию:
.
Определяем среднее квадратическое отклонение:
.
Среднее квадратическое отклонение округлим до деся-
Тых.
Находим среднее линейное отклонение:
.
Вычисляем коэффициент вариации:
,
Т. е. нашу совокупность можно считать однородной.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
75 80 85 90 95 100 105
f*
x
Рис. 6.2
Определяем коэффициент осцилляции:
.
Находим
.
По формулам (6.21) и (6.23) вычисляем моду и медиану. При
вычислении этих характеристик используем частоты μi.
;
.
Находим моментный коэффициент асимметрии:
.
Для этого сначала определяем оценку третьего централь-
ного момента:
.
Поэтому, , т. е. имеем очень небольшую отрица-
Тельную асимметрию.
Степень существенности асимметрии оценим с помощью
Средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии
По формуле
.
Так как , то асимметрия несущественна и вы-
Звана влиянием случайных причин.
Теперь вычисляем эксцесс по формуле . Для это-
го сначала находим оценку четвертого центрального момента:
.
Поэтому эксцесс равен , т. е. наше распределение
Немного прижато к оси абсцисс.
Для определения существенности эксцесса распределения
Вычислим его среднюю квадратическую ошибку, используя
Формулу (6.55). Получим
.
Так как отношение меньше 3, то отклонение от
Нормального распределения можно считать несущественным.
Заметим, что среднее квадратическое отклонение по величи-
Не всегда больше среднего линейного отклонения. В нашем случае
, . Соотношение зависит от наличия в совокуп-
ности резких отклонений и может быть индикатором “засорен-
ности” ее нетипичными, выделяющимися из основной массы еди-
Ницами. Для нормального распределения отношение .
Для нашего примера имеем
.
Заменяя числовые характеристики случайной величины
Их оценками, мы совершаем некоторую ошибку. Желательно
Оценить эту ошибку и найти вероятность (надежность) того,
что она не превзойдет некоторого малого положительного ε
(точность).
В рассматриваемом нами примере заменили М[X] на , а
D[Х] на . Оценим точность и надежность этих оценок по ре-
Зультатам нашего примера.
Чтобы оценить точность и надежность оценки, надо знать
Ее закон распределения. Во многих случаях этот закон оказы-