Количественные характеристики

Воспользуемся методом отображением натуральных значений характеристик в диапазоне значений от 0 до 1. Такой диапазон значений будем обозначать как (0,1].

Обычно это делается с помощью некоторой функции, принимающей значения от 0 до 1. В нашей задаче будем использовать квадратичную функцию

Квадратичная функция меняется от 0,3 до 0,9.

Достоинство такого подхода состоит в том, что непрерывная нормированная функция позволяет получить отображение любых значений натуральных характеристик решения в диапазон (0,1].

Этот способ позволяет перейти к безразмерным и центрированным значениям характеристик решения.

Для этого по каждой оси натуральных значений характеристики выбирается центр, иначе говоря новая точка нулевого отсчета значений характеристики, и относительно этого «нового» нуля задается желаемый диапазон вариации характеристики.

Рассмотрим, каким образом уравнение квадратичной нормирующей функции можно записать аналитически. Введем следующие обозначения:

- наименьшее значение исходной характеристики;

- соответствующее х1 нормированное значение, т.е. значение из диапазона (0;1];

- наибольшее значение исходной характеристики;

- соответствующее х2 нормированное значение, т.е. значение из диапазона (0;1];

х - любое исходное значение характеристики;

у - соответствующее х нормированное значение, которое мы хотим определить.

Тогда формула для определения у выглядит следующим образом:

Рассмотренные процедуры перехода от натуральных значений характеристик к безразмерным позволяют упростить дальнейшие этапы принятия решений. Использование безразмерных нормированных, например к 1, значений характеристик позволяет нам сравнивать и легко видеть результат сопоставления одной характеристики с другой, так как все характеристики меняются в одном диапазоне от 0 до 1.

· Вычисляем коэффициент приоритета.

В нашей задаче коэффициент приоритета рассчитывается следующим образом: числовое значение приоритета каждой характеристики делится на сумму приоритетов.

· Выбор идеала.

Идеалом или эталоном называется несуществующий в действительности вариант, составленный из лучших значений характеристик.

Так , например, идеал Цены = максимуму из всех значений этой характеристики.

В результате получаем таблицу значений, в которой указываем характеристики объектов, приведенные к сравнимому виду, коэффициенты приоритета и идеал.

· 3 метода выбора оптимального решения

Оптимальным называется такой вариант решения, который в рамках ограничений ресурсов и времени решения обеспечивает наилучшее значение некоторого критерия оценки решения.

Рассмотрим правило максимума взвешенной суммы.

Оптимальным по правилу взвешенной суммы назовем вариант, который обеспечивает максимум суммы произведений коэффициентов приоритета характеристик аiна логические функции требований μ(хi), т. е. обеспечивает

Величины произведений аiμ(хi) называют вкладами характеристик. Смысл такого критерия выбора оптимального варианта состоит в том, чтобы учесть вклады в общую сумму тех характеристик вариантов решения, которые приняты к рассмотрению ЛПР.

Расчеты по данному правилу просты, принцип довольно широко применяется на практике, особенно в экономических задачах.

Такой выбор варианта решения обладает одним недостатком, который связан со структурой правила в виде суммы вкладов по каждой характеристике варианта и состоит в том, что маленькие вклады по важным характеристикам могут компенсироваться большими вкладами по характеристикам с малым приоритетом.

В результате применения этого правила лучшим может оказаться вариант, обеспечивающий максимум суммы вкладов характеристик с низкими приоритетами, так как правило требует просто суммировать вклады характеристик.

Рассмотрим правило взвешенного произведения.

Вариант решения по данному правилу называется оптимальным, если среди всех имеющихся вариантов он обеспечивает максимум произведения коэффициентов приоритета характеристик аi, на логические функции требований μ(хi), т. е. обеспечивает

В этом выражении буквой П для сокращения записи обозначается произведение логических функций μ(xi) в степени аi.

Такая форма критерия оптимальности обладает важной особенностью: если одна из величин μ^аi(хi) мала или равна нулю, то величина всего критерия также мала или равна нулю.

Заметим, что при использовании критерия взвешенной суммы вклад каждой характеристики в общую сумму только увеличивает ее значение. Поэтому при использовании критерия взвешенного произведения говорят о его жесткости, так как он бракует любой вариант решения, который недостаточно удовлетворяет требованиям, предъявляемым ЛПР, хотя бы по одной характеристике решения.

Это свойство критерия взвешенной суммы формулируется в виде аксиомы выбора оптимальных решений: если значение какой-либо характеристики сравниваемого варианта решения не удовлетворяет требованиям задания, то и значение критерия тоже будет неудовлетворительным.

Например, если значение какой-либо из μ(xi) будет меньше 0,5, т. е. хуже среднего значения соответствующей характеристики хi, то значение критерия взвешенного произведения тоже будет меньше 0,5.

Это простое для расчетов правило обеспечивает однозначный выбор при монотонных величинах логических функций и довольно широко применяется на практике.

Рассмотрим правило близости к идеалу.

Идеалы всегда интересовали людей. Данное правило позволяет оценить степень близости вашего варианта решения к идеалу.

Так как лучшим значениям характеристик соответствуют наибольшие значения логических функций μ(xi), которые для сокращения записи обозначим как μij, где индекс i соответствует номеру характеристики, а индекс j соответствует номеру варианта, то «идеальный» вариант есть:

Оптимальным по правилу близости к идеалу называется вариант, у которого расстояние в пространстве координат до идеала среди всех рассматриваемых вариантов минимально.

Расстояние измеряется как корень квадратный из суммы квадратов разницы координат идеала и сравниваемого варианта. В процессе принятия решения координатами удобно считать логические функции характеристик сравниваемых вариантов. Тогда критерий близости к идеалу имеет вид:

Здесь расстояние от j-варианта до идеала обозначено как Δj, коэффициенты приоритета как аi, логические функции идеала как и сравниваемого варианта как μij.

Расчеты по этому правилу довольно просты, правило позволяет учитывать любые количественные и формализованные качественные характеристики.

Недостаток правила заключается в том, что ЛПР само выбирает масштаб измерения диапазона характеристик и отображения их в логических функциях, а, следовательно, при различных масштабах будут и различные расстояния Δj.

Поэтому, применяя правило близости к идеалу, нужно обоснованно выбирать масштаб изменения значений характеристик решения.

В результате проведенных вычислений получаем таблицу.

И сравниваем полученные методы на графике

Метод гарантированных достоинств и недостатков.

Правило использует понятия обобщенных достоинств и недостатков. Это соответствует выделению таких отношений между вариантами, которые показывают, по каким характеристикам один вариант лучше или хуже другого и насколько.

Достоинства и недостатки варианта по каждой характеристике определяются как взвешенная разность логических функций.

Порядок расчета по данному правилу состоит в следующем:

• для каждого варианта определяются взвешенные разности логических функций по каждой характеристике:

• если разность положительна, то речь идет о достоинстве варианта по данной характеристике. Если разность отрицательна, то речь идет о недостатках варианта по данной характеристике.

Это позволяет разделить достоинства и недостатки вариантов следующим образом.

Достоинства варианта j по сравнению с вариантом к по i-ой характеристике:

Недостатки варианта j по сравнению с вариантом к по i-ой характеристике:

Составляем 21 табличку дла попарного сравнения вариантов.

Проделав несложные вычисления, будем иметь достоинства для сравниваемых попарно вариантов (коэффициенты приоритета в данном примере в расчет не берутся). Чтобы обобщить достоинства каждого варианта, можно воспользоваться среднеарифметическими значениями.

Собираем полученные значения в сводную таблицу достоинств.

Средние значения достоинств от попарного сравнения вариантов заносятся по строкам, тогда по столбцам получаются недостатки вариантов по отношению к другим; если вариант сравнивается сам с собой, то он не имеет ни достоинств, ни недостатков, поэтому в такие клетки таблицы заносятся нули. Обобщенные достоинства варианта по отношению ко всем другим рассчитываются как сумма значений, стоящих в строке; а обобщенные недостатки как сумма значений в столбце.

Наилучшим будет вариант, имеющий максимальные достоинства или минимальные недостатки. Оптимальный вариант по достоинствам может не совпадать с оптимальным вариантом по недостаткам.

Мы видим, что у В2,В3 и В7 недостатки превышают достоинства, у В5 самые большие достоинства и самые маленькие недостатки. Вариант В5 является лучшим по критерию достоинств и недостатков.

Вывод.

Оптимальное решение конечной задачи зависит от субъективного фактора.

Субъективность в процесс решения вносит:

· Бальная оценка качественных характеристик

· Расстановка минимального и максимального значения количественных характеристик (у1,у2)

· Приоритетны характеристик

Оптимальное решение конечной задачи зависит от субъективного фактора.

Изменение приоритетов.

Расставляем значение приоритетов в исходной таблице таким образом, чтобы изменилось оптимальное решение.

Пересчитываем все значения и строим заново диаграмму сравнения методов выбора оптимального решения.