Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит
Доказательство:
Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен P(x) при разложении на множители содержит линейный множитель (x – a):
P(x) = (x – a)Q(x),
тогда бы он делился на (x – a) , но по следствию 6 a являлось бы корнем P(x), а по условию он корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен,
не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.
На основании теоремы Безу и следствия 5 можно доказать следующие утверждения:
1. Разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка:
Пусть P(x) = xn, P(a) = an,
тогда xn – an – разность одинаковых натуральных степеней.
По следствию 5
P(x) - P(a) = xn – an = (x – a)Q(x),
а это значит, что
(xn–an)/(x–a)=Q(x),т.е. разность одинаковых натуральных степеней на разность их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.
Итак
(xn – an)/(x – a) = xn-1 + axn-2 + a2xn-3 + … +an-2x + an-1.
2. Разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка.
Пусть P(x) = x2k, тогда P(a) = a2k.
Разность одинаковых чётных степеней x2k - a2k равна P(x) – P(a).
P(a) = a2k = (-a)2k = P(-a), т.е. x2k - a2k = P(x) – P(-a).
По следствию 5
P(x) - P(-a) = (x –(- a))Q(x)=(х + a)Q(x)
а это значит, что
x2k – a2k = (x + a)Q(x) или
(x2k – a2k)/(x + a) = Q(x),
т.е. разность одинаковых чётных степеней на сумму их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.
Итак,
(x2k – a2k)/(x + a) = x2k-1 – ax2k-2 + … +a2k-2x + a2k-1.
3. Разность одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится.
Пусть P(x) = x2k+1 - a2k+1 – разность одинаковых нечётных степеней.
По теореме Безу при делении x2k+1 - a2k+1на x + a = x – (-a) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k+1 – a2k+1 = -2a2k+1
Т. к. остаток при делении не равен 0, то разность одинаковыхнечётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится, что и требовалось доказать.
4. Сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка.
Пусть P(x) = x2л+1, P(-a) = (-a)2л+1 = -а2л+1,
тогда P(x) – P(-a) = x2k+1 + a2k+1 – сумма одинаковых нечётных натуральных степеней.
По следствию 5
P(x) - P(-a) = x2k+1 + a2k+1= (x –(- a))Q(x)= (x + a)Q(x),
а это значит, что
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = Q(x),
т.е. сумма одинаковых нечётных натуральных степеней на сумму их оснований делится без остатка, что и требовалось доказать.
Итак,
(x2k+1 + a2k+1)/(x + a) = x2k - ax2k-1 + … - a2k-1x + a2k.
5. Сумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму их оснований не делится.
Пусть P(x) = x2k + a2k – сумма одинаковых чётных степеней.
По теореме Безу при делении x2k + a2k на x + a = x – (-a) остаток равен
R = P(-a) = (-a)2k + a2k = 2a2k.
Т. к. остаток при делении не равен 0, тосумма одинаковых чётных натуральных степеней на сумму
их оснований не делится, что и требовалось доказать.
Теорема Безу. Примеры.
Пример 1.
Найти остаток от деления многочлена
x3 – 3x2 + 6x – 5
на двучлен x – 2.
По теореме Безу
R = P3 (2) = 23 – 3*22 + 6*2 – 5 = 3.
Ответ: R = 3.
Пример 2.
Найти остаток от деления многочлена
32x4 – 64x3 + 8x2 + 36x + 4
на двучлен 2x – 1.
Согласно следствию 1 из теоремы Безу
R=P4(1/2)=32*1/24–64*1/23 + 8*1/22+36*1/2+4=
= 2 – 8 + 2 + 18 + 4 =18.
Ответ: R = 18.
Пример 3.
При каком значении a многочлен
x4 + ax3 + 3x2 – 4x – 4
делится без остатка на двучлен x – 2 ?
По теореме Безу
R = P4 (2) = 16 + 8a + 12 – 8 – 4 = 8a +16.
Но по условию R = 0, значит
8a + 16 = 0 ,
отсюда
a = -2.
Ответ: a = -2.
Пример 4.
При каких значениях a и b многочлен
ax3 + bx2 – 73x + 102
делится на трёхчлен
x2 – 5x + 6 без остатка ?
Разложим делитель на множители:
x2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3).
Поскольку двучлены x – 2 и x – 3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x – 2 и на x – 3, а это значит, что
по теореме Безу
R1 = P3 (2) = 8a + 4b – 146 + 102 =
= 8a + 4b – 44 = 0
R2 = P3 (3) = 27a+9b – 219 + 102 =
= 27a +9b -117 =0
Решим систему уравнений:
8a + 4b – 44 = 0
27a + 9b – 117 = 0
2a + b = 11
3a + b = 13
Отсюда получаем:
a = 2, b = 7.
Ответ: a = 2, b = 7.
Пример 5.
Разложить на множители многочлен P(x) = x4 + 4x2 – 5.
Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена P(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу P(x) делится на (x – 1) без остатка:
_x4 + 4x2 – 5 x – 1
x4 – x3 x3 + x2 + 5x + 5
_ x3 + 4x2 – 5
x3 – x2
_ 5x2 – 5
5x2 – 5x
_ 5x – 5
5x – 5
0
P(x)/(x – 1) = x3 + x2 + 5x + 5, значит
P(x) = (x – 1)*(x3 + x2 + 5x + 5).
Среди делителей свободного члена многочлена x3 + x2 + 5x + 5 x = -1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x3 + x2 + 5x + 5 делится на (x + 1) без остатка:
_x3 + x2 +5x + 5 x + 1
x3 + x2 x2 +5
_5x + 5
5x + 5
0
(x3 + x2 +5x + 5)/(x + 1) = x2 +5,
значит
x3 + x2 +5x + 5 = (x +1)(x2 +5).
Отсюда
P(x) = (x – 1)(x +1)(x2 +5).
По следствию 7 (x2 + 5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому P(x) далее на множители не раскладывается.
Ответ: x4 + 4x2 – 5 = (x – 1)(x +1)(x2 +5).
Пример 7.
Разложить на множители многочлен P(x) = x4 + 324.
P(x) корней не имеет, т.к. x4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 P(x) на множители не раскладывается.
Ответ : многочлен на множители не раскладывается.
Пример 8.
Какую кратность имеет корень 2 для многочлена
P(x) = x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8.
Определение: Если многочлен P(x) делится без остатка на (x – a)k, но не делится на (x – a)k+1 , то говорят, что число a является корнем кратности k для P(x).
_x5 - 5x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8 x – 2
x5 - 2x4 x4 – 3x3 + x2 + 4
_-3x4 + 7x3 – 2x2 + 4x – 8
-3x4 + 6x3
_x3 – 2x2 + 4x – 8
x3 – 2x2
_4x – 8
4x – 8
0
_x4 – 3x3 + x2 + 4 x – 2
x4 – 2x3 x3 – x2 – x – 2
_-x3 + x2 + 4
-x3 +2x2
_-x2 + 4
-x2 + 2x
_-2x + 4
-2x + 4
0
_ x3 – x2 – x – 2 x – 2
x3 – 2x2 x2 + x + 1
_x2 – x – 2
x2 – 2x
_x – 2
x – 2
0
x2 + x + 1 на x – 2 не делится, т.к. R=22 + 2 + 1=7.
Значит, P(x)/(x – 2)3 = x2 + x + 1, т.е. корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x).
Ответ: корень 2 имеет кратность 3 для многочлена P(x).
Пример 9.
Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.
По следствию 3, если многочлен P(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень –2, то он делится без остатка на (x – 4)2(x + 2), значит
P(x)/(x – 4)2(x + 2) = Q(x),
т.е. P(x) = (x – 4)2(x + 2)Q(x) =
= (x2 – 8x +16)(x + 2)Q(x) =
= (x3 – 8x2 + 16x +2x2 – 16x + 32)Q(x) =
= (x3 – 6x2 + 32)Q(x).
(x3 – 6x2 + 32) - кубический многочлен, но по условию P(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число.
Пусть Q(x) = 1, тогда P(x) = x3 – 6x2 + 32.
Ответ: x3 – 6x2 + 32.
Пример 9.
Определите a и b так, чтобы -2 было корнем многочлена P(x) = x5 + ax2 + bx + 1, имеющим по крайней мере кратность два.
Если -2 – корень многочлена P(x) кратности два, то по следствию 3 P(x) делится на (x + 2)2 без остатка (R = 0)
(x + 2)2 = x2 + 4x + 4
_x5 + ax2 + bx + 1 x2 + 4x + 4
x5 + 4x4 + 4x3 x3 – 4x2 + 12x – (a + 32)
_ -4x4–4x3–ax2+bx+1
-4x4 – 16x3 – 16x2
_ 12x3 + (16 – a)x2 + bx + 1
12x3 +48x2 + 48x
_ -(a + 32)x2 + (b – 48)x + 1
-(a + 32)x2 – 4(a + 32)x – 4(a + 32)
(4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129
R = (4a +b – 48 + 128)x + 4a + 129 =
= (4a +b + 80)x + 4a + 129
Но R = 0, значит
(4a +b + 80)x + 4a + 129 = 0 при любых x.
Это возможно при условии, что
4a +b + 80 = 0,
4a + 129 = 0
Решим систему двух уравнений:
 | |
4a +b + 80 = 0 a = -32,25
4a + 129 = 0 b = 49
Ответ: a = -32,25, b = 49.
Из рассмотренных примеров видно, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов (нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д.), с разложением многочленов на множители, с определением кратности корней и многих других.
Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений.
Литература.
Бородин А.И., Бугай А.С.
Биографический словарь деятелей в области математики.
2. Математическая энциклопедия.
3. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А.
Алгебра и элементарные функции.
4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И.
Алгебра и математический анализ.
5. Курош А.Г.
Курс высшей алгебры.