СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе с возвращением k элементов множества Е, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы, отличающиеся составом.

При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

С ^k_k₊_p_-1.

Пример 3.В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т. д., всего по 16-ти разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литература равновозможен, найдите вероятности следующих событий: А – «заказаны книги из различных разделов науки»; В – «заказаны книги из одного и того же раздела науки».

Решение. а) Найдем вероятность события А – «заказаны книги из различных разделов науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m – количество способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16, т. е. m = С ⁴₁₆= 1820.

Найдем n – число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4.

n = С ⁴_16+4-1= 3876.

Искомая вероятность будет равна Р(А) =

б) Найдем вероятность события В – «заказаны книги из одного и того же раздела науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу . Аналогично первому случаю n – число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно n = 3876.

Так как m – количество способов выбрать один раздел из 16, то m = .

Искомая вероятность будет равна Р(В) =

СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе k из p элементов множества Е с возвращением и упорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы (возможно с повторениями), отличающиеся составом элементов либо порядком их следования.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле p ^k.

Пример 4. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4-м лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой еще какая-нибудь лунка)?

Решение. Занумерум лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номеру шарика) будет соответствовать один из 4-х номеров лунок. Таким образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4-м лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т. е. n = 4⁷.

Событие А – «первая лунка при рассыпании 7 шариков окажется пустой» соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой лунки) удален из рассмотрения. Поэтому m – число 7-буквенных слов из алфавита в 3 буквы.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = .