Формулы произведения функций
1).Вычислите: 2 
2).Вычислите: sin10°×sin20°×...×sin80°. [ 
]
3).Вычислите: tg5°×tg20° + tg20°×tg65° + tg65°×tg5°
Формулы cуммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Примеры:
1).sin54° – sin18° = 2sin18°cos36° = 
= 0,5
2). 
- 
3).cos 
+ cos 
= 2 cos 
cos 
= 2 cos 
cos 
= 2 cos cos 
4) ctg70° + 4cos70° = 
.
| Формулы понижения степени и половинного аргумента. |
Примеры:
1) Вычислите: sin15°; cos15°; tg15° [ 
; 
; 
].
Понятно, что вычислив значения тригонометрических функций для угла 15°, мы знаем и значения тригонометрических функций угла 75°, и, вообще, достаточно вычислять эти значения для углов от 0 до 45°.
Для каких еще углов можно аналогичным образом вычислить значения тригонометрических функций? [22,5°; 37,5°; 7,5° и т. д.]
2) tga = 
; Найти: sin2a (Ответ: 
);
3). 
= 0,6; 0< 
< 
. Вычислить 
; 
; 
4). Докажите, что в треугольнике АВС один из углов равен 60° т. и т. т., когда sin3A + sin3B + sin3C = 0.
Формулы приведения.
1) Сравните и обоснуйте:
а) 
и 
[>; II четверть];
б) 
и cos(–0,5) [>; четность; I четверть];
в) tg1,2p и tg1,4p [<; показать ось тангенсов]; г) ctgp2 и ctg10 [>; показать ось котангенсов].
|
2) Упростите выражения:
а) sin(1080° – a);
б) cos(–a – 20p);
в) tg(–1800° + b);
г) ctg(14p – b)
ответ: [а) –sina; б) cosa; в) tgb; г) –ctgb]
Помимо свойств четности или нечетности и свойства периодичности тригонометрических функций, существуют правила, позволяющие упрощать аналогичные тригонометрические выражения. Эти правила применяются, когда под знаком тригонометрической функции находятся слагаемые, не кратные 360° или 2p, но кратные 90° или 0,5p. Вывод этих правил, которые называются формулами приведения, использует симметрию на координатной плоскости.
1) Рассмотрим точки Рa и Рp + a. Они симметричны относительно О(0; 0): ZO(Рa) = Рp + a. Следовательно, xp + a = –xa; yp + a = –ya, то есть, cos(p + a) = –cosa; sin(p + a) = –sina; tg(p + a) = 
= tga; ctg(p + a) = 
= ctga.
2) Рассмотрим точки Рa и Рp – a. Они симметричны относительно оси y: S(OY) (Рa) = Рp – a. Следовательно, xp – a = –xa; yp – a = ya, то есть, cos(p – a) = –cosa; sin(p – a) = sina; tg(p – a) = 
= –tga; ctg(p – a) = 
= –ctga.
3) Рассмотрим точки Рa и Р0,5p + a. Какова особенность их взаимного расположения? [ 
] Следовательно, x0,5p + a = –ya; y0,5p + a = xa, то есть, cos(0,5p + a) = –sina; sin(0,5p + a) = cosa; tg(0,5p + a) = 
= ctga;
ctg(0,5p + a) = 
= –tga.
4) Как получить аналогичные формулы для угла 0,5p – a?
[Симметрия относительно прямой y = x или алгебраически]
cos(0,5p – a) = cos(0,5p + (–a)) = –sin(–a) = sina; sin(0,5p – a)= sin(0,5p + (–a)) = cos(–a) = cosa; tg(0,5p – a) = 
= ctga; ctg(0,5p – a) = 
= tga.
5) Как получить аналогичные формулы для углов 1,5p ± a? Проще – алгебраически.
cos(1,5p ± a) = cos(p + (0,5p ± a)) = –cos(0,5p ± a) = ±sina; sin(1,5p ± a)= sin(p + (0,5p ± a)) = –sin(0,5p ± a) = –cosa; tg(1,5p ± a) = 
= mctga; ctg(1,5p ± a) = 
= mtga.
Некоторые формулы приведения:
|  + 
| π +
|  +
| -
| π -
| -
| 2π -
|
| 
| - 
| -
|
|
| -
| -
|
| -
| -
|
|
| -
| -
|
|
| - 
| 
| -
|
| -
|
| -
|
| -
|
| -
|
| -
|
| -
|
Самое замечательное, что сами формулы запоминать не надо, достаточно запомнить «мнемоническое правило».
1) Знак результата совпадает со знаком данной функции;
2) Если есть 
или 
, то название функции меняется на кофункцию;
3) Если есть π или 2π, то название функции не меняется;
Упражнения.
1) Упростите выражения:
а) sin(117p – a);
б) cos(– 221,5p–a);
в) tg( 
+ b);
г) ctg2(b – 1890°) ответ:[а) sina; б) –sina; в) –ctgb; г) tg2b]
2) Вычислите значение тригонометрических функций угла 330°.
[cos330° = 
; sin330° = –0,5; tg330° = 
; ctg330° = 
]
3) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45° ( 
): а) sin(–3725°); б) 
[а) –cos39°; б) –ctg 
]
4) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45°
а) cos(–2281°); б) ctg27,7p.
5) Определите знаки чисел и попарно сравните: а) 
и 
; б) cos(–2) и cos(–3); в) 
и 
.
6) Верны ли равенства (обоснуйте): а) sin(a + b) = sina + sinb; б) cos(a – b) = cosa – cosb? [Нет; примеры!]
7) Сравните: sin(cos1) и cos(sin1).
8) Вычислите: 
[–1];
9) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до : а) cos10; б) ctg11. [а) –cos(10 – 3p); б) –tg(11 – 3,5p)];
10) Найдите значение выражения: sina×sinb×...×siny×sinz [0, так как sinp = 0].
11) Упростите: а) sin8; б) tg(–7).
12) 
· 
)