Розрахунок балки на пружній основі

Для залізобетонної балки прямокутного поперечного перерізу, що лежить на пружній основі (рис. 9.2), потрібно:

Рис. 9.2

- в одинадцятьох перерізах за допомогою ЕОМ, використовуючи метод скінченних різниць, визначити прогин z, кут повороту j, згинальний момент М, поперечну силу Q і реактивний тиск р;

- побудувати епюри z, j, М, Q і р;

- зробити перевірку міцності перерізу балки. Якщо умова міцності не задовольняється або задовольняється з великим запасом, необхідно змінити розміри балки або клас бетону і знову провести розрахунок.

Примітка. При розрахунках балки бажано використовувати СНиП 2.03.01-84. «Бетонные и железобетонные конструкции».

Опис програми розрахунку на ЕОМ. Для числової реалізації цієї програми на ЕОМ складена програма мовою Бейсик.

За допомогою запропонованої програми можна розрахувати балку для різної кількості ділянок n, що вводяться з клавіатури.

У машину необхідно ввести: N - кількість ділянок балки;
LВ - довжину балки; К₁ - погонний коефіцієнт постелі; ЕІ - жорсткість; А(N - 3,1) … А(N - 2,5) - масив граничних умов для лівого кінця балки у формі скінченно-різницевої апроксимації частинних похідних; А(N - 1, N - 4) … А(NN) - масив граничних умов для правого кінця балки; В(N) - масив навантаження.

Вихідні дані: залізобетонна балка прямокутного поперечного перерізу 25 х 35 см і довжиною 5 м знаходиться на ґрунті з коефіцієнтом постелі К₀ = 9,0 ^. 10⁴ кН/м³.

Бетон класу В40, Е_б = 36,0×10³ МПа, R_в = 22,0 МПа. Рівномірне навантаження інтенсивністю q = = 800 кН/м діє на ділянці балки від х₁ = 1,5 м до х₂ = 4,0 м (рис. 9.2). Правий кінець балки шарнірно обпертий, а лівий – вільний.

Розв’язання. Для розв’язання задачі застосуємо метод скінченних різниць.

Як модель пружної основи використовуємо модель Вінклера. Основні рівняння для балки, розташованої на вінклерівській основі, мають вигляд формул (9.1).

Запишемо граничні умови:

а) для лівого вільного кінця при х = 0

М = 0 і Q = 0;

б) для правого кінця шарнірно обпертого при х = 5 м

z = 0 і М = 0.

Використовуючи скінченно-різницеву апроксимацію диференціальних залежностей (9.1), перепишемо граничні умови в такому вигляді:

а) для лівого кінця при х = 0 (і = 0)

;

б) для правого кінця при х = і (і = n)

z_n= 0;

Далі необхідний момент інерції перерізу

J = b h³/12 = 8,932 ^. 10^-4 м⁴

і жорсткість балки

ЕJ = 216 ^. 10⁴ кН ^. м².

Погонний коефіцієнт постелі

к = к₀ b = 2,25 ^. 10⁴ кН/м².

Розрахунок балки будемо робити для одинадцяти перерізів, що знаходяться один за одним на однаковій відстані. Вихідні дані вводимо в машину й одержуємо максимальний згинальний момент

М_mах = 374,56 кН ^. м.

Умова міцності балки за згинальним моментом

М_mах £ М_розр,

де М_mах - максимальний згинальний момент від дії заданого навантаження; М_розр– розрахунковий момент

М_розр = ;

h₀ = h - 2 см;

х = 0,5 h₀.

Розміри h, h₀показані на рис. 9.3.

Підставляючи значення R_б, b, х і h₀в умову міцності, маємо

374,6 кН×м > 224,6 кН×м або М_mах > М_розр,

Рис. 9.3

таким чином, умова міцності не виконується. Для збільшення М_розрзмінюємо розміри перерізу балки.

Методом підбору розмірів перерізу рахуємо на машині доти, доки не виконається умова міцності.

Остаточно беремо: b = 0,35 м; h = 0,5 м.

Коефіцієнт постелі: к = 3,15×10⁴кН/м², ЕІ = 1,312×10⁵кН×м².

Перевіряючи умову міцності, знаходимо:

641,5 кН×м < 665,3 кН×м або М_mах < М_розр.,

отже, для балки з новими розмірами поперечного перерізу умова міцності задовольняється.

На підставі отриманих даних побудовані епюри z, р,j, М і Q (рис. 9.4).

Методичні рекомендації

Вивчаючи балки на пружній основі, слід повторити методи розв’язання диференціальних рівнянь четвертого порядку, а саме, метод Коші. Необхідно запам’ятати гіпотезу Вінклера про пропорційну залежність між реакцією і осіданням основи балки, визначити переваги і недоліки гіпотези. Варто навчитися виводити диференціальні рівняння зігнутої осі балки на пружній основі; розібратися, як отримують розв’язок для нескінченно довгої балки і балки скінченної довжини (метод О.М. Крилова). Особливу увагу слід зосередити на застосуванні методу скінченних різниць до розрахунку балок на пружній основі.

Запитання для самоперевiрки

1. У чому полягає гіпотеза Вінклера?

2. Виведіть диференціальне рівняння зігнутої осі балки на пружній основі.

3. Розв’яжіть диференціальне рівняння зігнутої осі балки на пружній основі для нескінченно довгої балки, навантаженої силою.

4. Як отримати розв’язання рівняння у випадку дії декількох зосереджених сил?

5. Виведіть розв’язок диференціальнго рівняння зігнутої осі балки скінченної довжини методом О.М. Крилова.

6. Як записуються частинні розв’язки для рівномірно розподіленого навантаження і зосередженої сили?

7. Як записати граничні умови для балки скінченної довжини, використовуючи скінченні різниці?

Рис. 9.4

Визначення переміщень