Задачи для самостоятельного решения. Найти решение однородной системы:

Найти решение однородной системы:

1. 2.

3.

 

 

Ответы: 1. XО.Р.= , 2. X=(0,0,0)т, 3. XО.Р.=

 

МОДУЛЬ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»

(контрольный блок)

 

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

«ДЕЙСТВИЯ С ОПРЕДЕЛИТЕЛЯМИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА»

Вариант 1.

 

1. Найти A·C, C·A, B·C, C·B, A·B, B·A, A+B, B+C, C+A, AT, BT, CT, где

A= , B= , C= .

2. Найти определитель:

a) б) в)

3. Решить матричное уравнение X·(2·A+E)+B·C=0, где

 

4. Найти А-1, В-1, где

5. Привести к треугольному виду:

Вариант 2.

1. Найти А∙С, С∙А, В∙С, С∙В, А∙В, В∙А, А+В, В+С, С+А, Ат, Вт, Ст, где

А= , В= , С= .

2. Найти определитель:

а) б) в)

3. Решить матричное уравнение А∙Х∙В-С=0, где

А= , В= , С= .

 

4. Найти А-1,В-1, где

А= , В= .

 

5. Привести к треугольному виду:

А= В=

 

 

Вариант 3.

1. Найти А∙С, С∙А, В∙С, С∙В, А∙В, В∙А, А+В, В+С, С+А, Ат, Вт, Ст, где

А= , В= , С= .

2. Найти определитель:

а) б) в)

3. Решить матричное уравнение 2∙Х∙А2-В=0, где

А= , В= , С= .

 

4. Найти А-1,В-1, где

А= , В= .

 

5. Привести к треугольному виду:

А= В=

 

 

Вариант 4.

1. Найти А∙С, С∙А, В∙С, С∙В, А∙В, В∙А, А+В, В+С, С+А, Ат, Вт, Ст, где

А= , В= , С= .

2. Найти определитель:

а) б) в)

3. Решить матричное уравнение А∙В∙Х=С+2∙Е, где

А= , В= , С= .

 

4. Найти А-1,В-1, где

А= , В= .

 

5. Привести к треугольному виду:

А= В=

 

Вариант 5.

1. Найти А∙С, С∙А, В∙С, С∙В, А∙В, В∙А, А+В, В+С, С+А, Ат, Вт, Ст, где

А= , В= , С= .

2. Найти определитель:

а) б) в)

3. Решить матричное уравнение А∙Х=В+3∙С, где

А= , В= , С= .

 

4. Найти А-1,В-1, где

А= , В= .

 

5. Привести к треугольному виду:

А= В=

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

“СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ”

Задание:

1.Выполнить действия с матрицами

2.Решить систему уравнений тремя способами (по формулам Крамера, матричным методом , методом Гаусса).

3.Исследовать систему на совместимость и найти решение.

4.Решить однородную систему.

Вариант 1.

 

1. Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 2.

 

1. Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 3.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 4.

 

1. Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 5.

 

1.Найти А2; АВ.

 

2.

3. 4.

 

Вариант 6.

 

1. Найти А2; АВ.

2.

 

3. 4.

 

Вариант 7.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 8.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

Вариант 9.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 10.

 

1 Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 11.

 

1 Найти А2; АВ.

2.

3. 4..

 

Вариант 12.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 13.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

Вариант 14.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 15.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 16.

 

1.Найти А2; АВ.

 

2.

3. 4.

 

Вариант 17.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 18.

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

Вариант 19.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

Вариант 20.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 21.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 22.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 23.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 24.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 25.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

Вариант 26.

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 27.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

3. 4.

 

Вариант 28.

 

1 Найти А2; АВ.

2.

 

3. 4.

Вариант 29.

 

1.Найти А2; АВ.

 

2.

3. 4.

 

Вариант 30.

 

1.Найти А2; АВ.

2.

 

3. 4.

 

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.

 

1. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов. В 2-х ч. Ч. l.-4-e изд.-М.: Высш. шк., 1986.-304с.

2. Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов.-14-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-224с.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры: Учебн. пособие для университетов.-10-е изд.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1971.-432 с.

4. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие для втузов-13-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987.-352с.

5. Сборник задач по курсу высшей математики. Под редакцией П. Е. Дюбюка и Г. И. Кручковича: Учеб. пособие для втузов.-2-е изд -М.: Высш. шк.,1965.-592 с.

6. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов. Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.-2-е изд.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-464 с.

7. Элементы линейной алгебры. Под общ. ред. Р. Ф. Апатенок, М., "Высшая школа", 1977.-256 с.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ

 

1. Что называется матрицей? Виды матриц. Действия над матрицами.

2. Что называется определителем квадратной матрицы, и каковы его основные свойства?

3. Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента?

4. Способы вычисления определителей?

5. Понятие крамеровской системы линейных алгебраических уравнений, ее решение.

6. Какая матрица называется обратной к данной? Как найти обратную матрицу?

7. Как записать простейшее матричное уравнение? Его решение.

8. Что называется рангом матрицы. Как его найти?

9. Что называется матрицей и расширенной матрицей системы?

10. Какая система линейных уравнений называется совместной и несовместной, определенной и неопределенной, однородной и неоднородной?

11. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли. Ее применение для решения произвольных систем.

12. Опишите метод Гаусса.

Теоретические упражнения

(Повышение рейтинга)

1. Пусть A-матрица размера тхп. Какого размера должна быть единичная матрица Е, чтобы имели смысл произведения: А∙Е, Е∙А?

2. Всегда ли можно умножить:

а) строку на столбец;

б) столбец на строку?

Какая матрица получится в результате умножения? Каков ее ранг?

3. Доказать, что определитель треугольной матрицы п-го порядка

равен а11·а22∙…·ann.

4. Пусть А и В - невырожденные квадратные матрицы порядков т и п соответственно (не исключено, что т=п). Показать, что уравнение А∙Х∙В=С разрешимо только в случае, когда матрица С имеет размер пхт. Записать выражение для матрицы X (в матричном виде), найти ее размер.