Применение формулы Блэка-Шоулза для оценки стоимости реальных опционов
После того как мы убедились в важности учета стоимости возможности выбора в вопросах инвестирования, возникает вопрос о ее количественном измерении Один из способов оценки стоимости реальных опционов состоит в применении формулы Блэка—Шоулза.
Предположим, например, что фирма Rader, Inc. рассматривает вопрос о поглощении другой фирмы. Target, Inc. Допустим дальше, что обе они финансируют свой бизнес исключительно за счет выпуска акций. Это означает, что ни одна из них не имеет в обращении облигаций. У каждой из фирм в обращении находится 1 миллион обыкновенных акций, которые могут свободно покупаться и продаваться на рынке. Текущая рыночная стоимость активов фирмы Target, Inc. составляет 100 млн. долл., а стандартное отклонение изменения стоимости равно 0,20. Предположим, что менеджеры фирмы Target, Inc. предлагают руководству Rader, Inc. Купить опцион на приобретение 100% акций фирмы Target, Inc. через год за 106 млн. долл. Безрисковая процентная ставка составляет 6% годовых.
Выгодно ли такое вложение, если опцион предлагается за 6 млн. долл.?
С позиции фирмы Rader, Inc. этот вопрос связан с принятием решения в области планирования инвестиций. Первоначальные затраты составляют 6 млн. долл., требуемых для покупки опциона на приобретение через год активов фирмы Target, Inc. Для определения действительной цены этого опциона можно воспользоваться теми же методами оценки, что и рассмотренные в главе 15 для оценки европейского опциона "колл" на покупку акций. Воспользуемся формулой Блэка—Шоулза3.
где
С — цена опциона
S — цена акций
Е— цена исполнения
Т— промежуток времени до срока исполнения опциона (в годах)
s — стандартное отклонение непрерывно начисляемой ставки доходности акций (в годовом исчислении)
Таблица расчета стоимости опциона
| S | Е | R | Т | d | s | Результат |
| 0,05 | 0,2 | С = 8 млн. долл. |
Стоимость опциона составляет примерно 8 млн. долл. NPV данной инвестиционной возможности равна 2 млн. долл. Для ее вычисления мы из полученной стоимости опциона для фирмы Rader, Inc. вычтем его цену в 6 млн. долл. Общий вывод — покупка данного опциона на предложенных условиях выгодна.
Рассмотрим теперь применение теории ценообразования опционов для оценки инвестиционных возможностей, в которых в явном виде покупка опциона не присутствует, однако есть возможность для выбора управленческого решения (т.е. для управленческого опциона). Предположим, что у фирмы Electro Unity есть возможность инвестировать средства в постройку электростанции. На первом этапе для строительства .здания, в котором будет размещаться оборудование, необходимы расходы в 6 млн. долл. На втором этапе, наступающем через год, необходимо закупить оборудование стоимостью 106 млн. долл. Предположим, что с сегодняшней точки зрения через год стоимость готового к пуску предприятия будет колебаться вокруг среднего значения 112 млн. долл. с соответствующим значением стандартного отклонения 0,2.
Предположим, что мы проводим финансовый анализ этой инвестиционной возможности на основе метода дисконтированных денежных потоков При ставке дисконтирования k приведенная стоимость готового к пуску предприятия составляет 112 млн. долл./(1+к). Поскольку расходы по инвестиционному проекту в 106 млн. долл. , необходимые для приобретения оборудования для производства электроэнергии, известны точно, приведенная стоимость рассчитывается с применением безрисковой ставки Если она составляет 6%, то приведенная стоимость расходов на оборудование равна 100 млн. долл. Кроме того, первоначальные расходы на строительство объекта составляют 6 млн. долл. Таким образом, NPV по проекту определяется как
NPV= 112 млн. долл./(1+к) - 100 млн. долл. - 6 млн. долл. = 112 млн. долл./(1+к) -106 млн. долл.
Рассчитанное значение NPV для данного проекта оказывается отрицательным при любом значении k, превышающем 5,66%, что даже меньше, чем безрисковая процентная ставка. Например, если k равно 12%, приведенная стоимость готового к пуску предприятия составит 100 млн. долл., а рассчитанное значение NPV по данному проекту окажется равным —6,0 млн. долл.
Однако при получении такого результата не учитывается существенный факт: наличие у управленческого персонала фирмы возможности отказаться от выполнения проекта через год после его начала. Другими словами, менеджеры будут инвестировать дополнительную сумму в 106 млн. долл. на втором этапе проекта только в том случае, если стоимость предприятия окажется больше 106 млн. долл4.
Как можно оценить эту инвестиционную возможность для менеджеров, учтя существующую у них гибкость в принятии решений? Ответ здесь состоит в том, что мы можем использовать тот же метод, что и в случае оценки возможности поглощения фирмой Rader, Inc. фирмы Target, Inc. Несмотря на то что условия несколько отличаются, эти два случая имеют одинаковую структуру и даже одинаковые выплаты.
Для того чтобы убедиться в этом, обратим внимание на тот факт, что, начиная первую фазу проекта, Electro Unity должна в действительности заплатить 6 млн. долл. для "покупки опциона", дата истечения по которому наступит через год. Возможность выбора состоит в том, чтобы приступить (или не приступать) к выполнению второй части проекта, а "цена исполнения" составляет 106 млн. долл. Приведенная стоимость выполненного проекта равна 100 млн. долл.
В соответствии с формулой Блэка—Шоулза этот опцион стоит примерно 8 млн. долл. Таким образом, NPV данного проекта оказывается положительной и составляет 2 млн. долл., а не отрицательной, как это вышло в результате расчетов, не учитывающих существующей у менеджеров возможности прекратить через год работу над проектом.
В итоге мы пришли к следующему выводу: учет гибкости в принятии управленческих решений повышает величинуNPV проекта. Более того, из теории ценообразования опционов мы знаем, что стоимость такого рода гибкости возрастает при увеличении изменчивости проекта.
Вернемся опять к примеру с фирмой Electro Unity. Предположим, что стоимость завода по производству электроэнергии в действительности колеблется сильнее, чем мы считали вначале. Соответственно, стандартное отклонение составляет не 0,20, а 0,40. Это приводит к тому, что инвестиционный проект становится более привлекательным. Применив формулу Блэка—Шоулза, находим, что стоимость опциона составляет теперь 16 млн. долл. Таким образом, NPV проекта равна 10 млн. долл., а не 2 млн. долл., как в предыдущем случае.
В сущности, все будущие инвестиционные возможности можно рассматривать как опционы "колл", поскольку фирмы почти всегда могут некоторое время выждать, прежде чем нести первоначальные затраты, а затем принять решение не продолжать работу. Время, в течение которого фирма может ждать, прежде, чем принять окончательное решение, аналогично времени до даты истечения опциона; первоначальные затраты аналогичны цене исполнения; а приведенная стоимость ожидаемых в будущем денежных поступлений по проекту аналогична цене акций, лежащих в основе опциона. Таким образом, рассчитанная с применением обычных методов величина NPV проекта оказывается аналогичной внутренней стоимости опциона, показывающей, какой была бы его стоимость при немедленном истечении. Рассчитанное таким образом значение NPV несколько занижает стоимость проекта, поскольку в нем не учитывается временная стоимость опциона.
| Контрольный вопрос 17.5 |
| Чему равна NPV инвестиционного проекта постройки электростанции фирмы Electro Unity, если его изменчивость составляет не 0,2, а 0,3? |
Резюме
• Существует три действительные причины для слияния или поглощения компаний: (1) снижение производственных затрат за счет эффекта синергии, (2) снижение налогов и (3) извлечение выгоды от сделки на фондовом рынке.
• Диверсификация риска не является обоснованной причиной для слияния двух фирм, поскольку в общем случае держатели акций могут сами диверсифицировать свои портфели; для них нет необходимости в том, чтобы фирма сделала это за них.
• Очень важной особенностью инвестиционных проектов является существование для менеджеров возможности отложить начало работ по проекту, или после начала работ, расширить рамки проекта либо отказаться от его выполнения. Игнорирование этих управленческих возможностей финансовыми аналитиками занижает NPV проекта.
• Понимание сходства между финансовыми опционами и реальными управленческими опционами оказывается важным в силу трех причин: (1) оно помогает структурировать анализ инвестиционного проекта в виде временной последовательности управленческих решений, (2) проясняет значение неопределенности в оценке проектов и (3) дает метод оценки стоимости управленческого опциона проекта посредством использования количественных моделей, разработанных для оценки опционов "колл".
Основные термины
• поглощение, или приобретение (acquisition), 537
• слияние (merger), 537
• эффект синергии (synergy), 538
• управленческий опцион (managerial option), 543
Ответы на контрольные вопросы
Контрольный вопрос 17.1. Назовите и охарактеризуйте три причины слияний и поглощений, ведущих к повышению стоимости компании
ОТВЕТ. Существует три истинных причины слияний и поглощенийкомпаний.
Снижение производственных затрат за счет эффекта синергии.
Снижение налогов.
Получение преимущества от выгодной сделки на фондовом рынке.
Контрольный вопрос 17.2. Почему диверсификацию риска нельзя считать обоснованной
причиной для слияния двух фирм ?
ОТВЕТ. Диверсификация риска не является обоснованной причиной для слияния двух фирм, поскольку акционеры могут диверсифицировать свои портфели самостоятельно или обратившись к финансовым посредникам. Нет необходимости в том, чтобы фирма делала это за них.
Контрольный вопрос 17.3. Предположим, что вместо абсолютной отрицательной корреляции показатели доходности двух подразделений фирмы Multicrop никак не коррелируют. Будет ли в этом случае выделение дочерней фирмы Unicrop в виде отдельной фирмы приводить к повышению благосостояния акционеров?
ОТВЕТ. Да. Когда две фирмы объединены, риск неуплаты для кредиторов оказывается выше, чем когда фирмы представляют собой отдельные субъекты хозяйственной деятельности. Таким образом у объединенных коммерческих подразделений долговые обязательства имеют более высокую, а акции — более низкую рыночную стоимость.
Выделение Unicrop в виде отдельной фирмы приведет к перераспределению богатства от кредиторов к акционерам фирмы Multicrop.
Контрольный вопрос 17.4. Общность опционов "пут " и управленческих опционов, связанных с возможностью выбора, оказывается важной в силу трех причин. В чем они состоят ?
ОТВЕТ. Понимание общности опционов "пут" и управленческих опционов является важным, так как
• помогает структурировать анализ инвестиционного проекта в виде временной последовательности принимаемых управленческих решений;
• делает более ясной роль неопределенности в оценке проектов;
• дает возможность оценивать стоимость управленческих опционовс помощьюколичественных моделей, разработанных для оценки опционов "колл".
Контрольный вопрос 17.5. Чему равна NPV инвестиционного проекта постройки электростанции фирмы Electro Unity, если его изменчивость составляет не 0,2, а 0,3?
ОТВЕТ:
Исходные данные для вычислений:
S = 100 млн. долл., Т= 1 год, s = 0,3
Таким образом, стоимость опциона составляет приблизительно 12 млн. долл. NPV для данной инвестиции составляет 6 млн. долл. (стоимость опциона для фирмы Rader минус затраты в 6 млн. долл.
Вопросы и задания
Шаблон M 17.2
1. Руководство крупной корпорации Hampshire- Cathaway, у которой отсутствует рост прибыли, рассматривает возможность приобретения 100% Hl«==™J акций корпорации Trilennium Corporation, молодой фирмы с высокими темпами роста прибыли. Группа финансового анализа компании Hampshire-Cathaway представила по этому вопросу следующие данные.
| Hampshire-Cathaway | Trilennium | |
| Чистая прибыль на акцию | 3,00 долл. | 2,00 долл. |
| Дивиденды на акцию | 3,00 долл. | 0,80 долл. |
| Количество акций | 200 млн. долл. | 10 млн. долл. |
| Курс акций | 30 долл. | 20 долл. |
В соответствии с оценками аналитиков корпорации Hampshire-Cathaway инвесторы в настоящее время ожидают, что рост дивидендов и прибыли Trilennium Corporation составит примерно 6% в год. Они полагают, что при улучшении управления, которое менеджмент корпорации Hampshire-Cathaway может обеспечить поглощаемой корпорации Trilennium Corporation, указанные темпы роста увеличатся до 10% в год без каких-либо дополнительных вложений.
а. Чему равен ожидаемый выигрыш от поглощения?
b. Чему равна NPV этого приобретения для акционеров корпорации Hampshire-
Cathaway при условии, что покупка всех находящихся в обращении акции
осуществляется по курсу 30 долл. за акцию?
с. Имеет ли значение для акционеров компании Hampshire-Cathaway, как будут приобретаться акции корпорации Trilennium Corporation — за деньги или путем обмена на акции Hampshire-Cathaway?
2. Руководство киностудии Nadir Productions должно принять решение о производстве фильма по книге Planetary Wars, права на которую она уже приобрела. Эксперты студии оценивают затраты на производство фильма в 30 млн. долл. а значение приведенной стоимости общей чистой выручки, полученной за год проката фильма, составляет 35 млн. долл., с показателем изменчивости 0,5. При анализе такого рода проектов студия использует дисконтную ставку 20%.
а. Чему равна, в соответствии с традиционным порядком расчетов, NPV данного проекта?
b. На этом этапе новый специалист, работающий в группе финансовых аналитиков, высказывает предположение о том, что не была учтена стоимость возможности (опциона) производства продолжения данного фильма. Если фильм будет иметь успех, студия обязательно захочет выпустить в следующем году и продолжение — Planetary Wars II,
с. Схематически изобразите дерево решений для данного проекта.
d. Предположим, что цифры затрат и поступлений от продолжения фильма те же, что и для самого фильма. Как на привлекательность проекта влияет учет возможности выпуска продолжения
е. Предположим, что ответственные сотрудники киностудии Nadir Productions считают, что пользующийся успехом фильм такого жанра может иметь до трех продолжений. Чему равна NPV проекта при учете этой возможности?
3. Предположим, что у корпорации Microstuff Corporation есть возможность инвестиций в новую компьютерную технологию, использующую телевизоры для подключения к Интернет. В первой фазе необходимы затраты в 100 млн. долл. для разработки пилотного проекта с целью определения работоспособности технологии. Во второй фазе, которая начинается через год, потребуются дополнительные инвестиции в 1 млрд. долл. Предположим, что с сегодняшних позиций стоимость проекта через год, считая с сегодняшнего дня, можно оценить как случайную величину со средним значением в 1,1 млрд. долл. и стандартным отклонением 0,20. Необходимая ставка доходности для этого проекта составляет 10% годовых. Воспользуйтесь моделью для оценки стоимости опционов Блэка— Шоулза и определите, есть ли смысл работать над этим проектом.
1 При этом существуют возможные различия в налогообложении и бухгалтерском учете, зависящие от типа арендного договора и его срока.
[2] Принятые в Германии правила бухгалтерского учета требуют, чтобы корпорации показывали существующую величину пенсионных обязательств в балансовом отчете в виде существующей задолженности.
[3] До появления этой новаторской работы специалисты по финансам просто полагали, что структура капитала существенна, но причины этого видели неверно. См. Franco Modigliani and Merton Miller, "The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment", American Economic Review (June 1958), pp. 261-297
[4] Или можно считать, что при наступлении срока погашения облигации просто заме аналогичными облигациями нового выпуска.
[5] Этот термин взят из рассмотренного в 3-м разделе главы 2 примера противоречия между комитентном и комиссионером.
[6] Прежде, чем двигаться дальше, читателю следует еще раз просмотреть главу 6.
[7] В случае, когда величина новых долговых обязательств для данного проекта определена, можно рассчитать PV дополнительного "налогового щита" и, следовательно, ANPV непосредственно, без предварительного расчета АРУ, как это сделано в рассматриваемом примере. Общепринятым является использование вместо принятого в этом примере сокращения ANPV более короткой аббревиатуры APV, однако смысл его должен быть виден по контексту.
[8] Эта формула применима только в том случае, если долговые обязательства фирмы являются безрисковыми. Распространение ее на рискованные облигации путем простой замены безрисковои ставки обещанной является неправомерным. Правильная оценка "налогового щита" в случае рискованных долговых обязательств является сложной и выходит за рамки этой книги
1 Последние изменения в налоговом законодательстве США в значительной степени ограничили использование общих производственных потерь фирм для оптимизации налогообложения компаний, приобретающих фирмы после того, как они понесли убытки.
2 Полученное отрицательное балансовое значение собственного капитала вполне возможно с точки зрения бухгалтерского учета, но не с позиций рыночной оценки
3 Поскольку в этом случае цена исполнения опциона равна будущей стоимости фирмы, лежащей в основе опциона, рассчитанной с учетом безрисковой процентной ставки, можно воспользоваться линейным приближением для формулы Блэка—Шоулза
4 Для простоты мы предполагаем, что 6 млн. долг. первоначальных вложений полностью теряются, если строительство предприятия не завершается. Это означает, что стоимость утилизации принимается равной нулю