Материал по корреляционной теории стационарных случайных процессов

Задача 1

Энергетический спектр нормального (гауссовского) стационарного случайного процесса Х(t) равен W(w). Cреднее значение случайного процесса равно m.

Требуется:

1. Определить корреляционную функцию В(t) случайного процесса.

2. Построить графики W(w) и В(t) с указанием масштаба по осям.

3. Определить эффективную ширину энергетического спектра ∆ωэ и интервал корреляции τк случайного процесса.

4. Записать математическое выражение и построить график функции плотности вероятности р(х) мгновенных значений случайного процесса.

5. Определить вероятность того, что мгновенные значения случайного процесса будут находиться внутри интервала (c, d ] - Ρ(c < x ≤ d).

Исходные данные к задаче приведены в таблицах 1 и 2.

Таблица 1

Последняя цифра номера варианта Энергетический спектр W(ω)
W(ω) = W0∙ω/α, при 0 ≤ ω ≤ α; W(ω) = 0, при ω > α;
W(ω) = W0∙ (1- ω/α), при 0 ≤ ω ≤ α; W(ω) = 0, при ω > α;
W(ω) = W0∙α2 / (α22);
W(ω) = W0∙exp[- ω22];
W(ω) = W0, при 0 ≤ ω ≤ α; W(ω) = 0, при ω > α;
W(ω) = W0, при ω0 ≤ ω ≤ ω0+α; ω 0 = 103∙α; W(ω) = 0, при ω < ω0, ω > ω0 + α;
W(ω) = W0∙ (ω- ω0)/α, при ω0 ≤ ω ≤ ω0+α; ω 0 = 103∙α; W(ω) = 0, при ω < ω0, ω > ω0+α;
W(ω) = W0∙[1 – (ω – ω0)/α], при ω0 ≤ ω ≤ ω0+α; ω0 = 103∙α; W(ω) = 0, при ω < ω0, ω > ω0+α;
W(ω) = W0∙α2/[α2 + (ω - ω0)2]; ω 0 = 103∙α;
W(ω) = W0∙exp[- (ω - ω0)22]; ω 0=103∙α;

 

Таблица 2

Предпоследняя цифра номера варианта
W0, В2∙с/рад 2∙10-1 10-3 5∙10-2 10-2 4∙10-3 3∙10 6∙10-1 2∙10-4 0,4 2
α , рад/с
mх , B -1 -2 -3 -4
c, B -1 -2 -2,5 -3 -4 -5,5 -2
d, B 2,5 -0,5 -1,5 -2 1,5

 

Методические указания к задаче 1.

Материал по корреляционной теории стационарных случайных процессов

изложен в [1- с.52-53, 56-59; 2- с.46-47; 4- с.140-141, 160-164]. Более полный

материал по задаче можно найти в [4].

Энергетический спектр случайного процесса W(ω) связан с функцией корреляции В(τ) парой преобразований Фурье:

 

В(τ) = 1/(2π)∙∫ W(ω)∙exp(jωτ)∙dω;

W(ω) = ∫ В(τ)∙exp(-jωτ)∙dτ; (1.1)

Поскольку В(τ) – четная функция, то соответствующий спектр мощности W(ω) представляет собой четную функцию частоты ω. Отсюда следует, что пару преобразований Фурье можно записать, используя лишь интегралы в полубесконечных пределах:

В(τ) = 1/π ∙ ∫ W(ω) ∙ cos(ωτ)∙dω;

W(ω) = 2 ∙ ∫ В(τ) ∙ cos(ωτ)∙dτ; (1.2)

При этом, если энергетический спектр процесса W(ω) отличен от нуля в конечной полосе частот, в качестве пределов интегрирования в формуле (1.2) берутся границы энергетического спектра. В [4- с.161-162] приводится ряд примеров вычисления корреляционных функций случайных процессов.

Для низкочастотного процесса (ω0=0) в вариантах 0–4 (таблица 1), в формулу В(τ) следует подставлять заданный в таблице W(ω). У НЧ процессов функцию корреляции нередко обозначают В0(τ).

Для высокочастотного процесса (ω0>>α) в вариантах 5–9 функция корреляции имеет вид [4- с.171-172]:

В(τ) = В0(τ) ∙ cos(ω0τ), (1.3)

где: В0(τ) – функция корреляции огибающей (НЧ процесса).

При этом, при определении В(τ), в формуле Винера-Хинчина (1.2) следует сделать замену переменной ω=ω0+Ω (ω-ω0=Ω) и интегрирование производить по переменной Ω на интервале от 0 до ∞, используя формулу тригонометрического преобразования (см. приложение к методуказаниям):

В(τ) = 1/π ∙ ∫ W(ω- ω0) ∙ cos(ωτ) ∙ dω = 1/π ∙ ∫ W(Ω) ∙ cos[(ω0+Ω)τ]∙dΩ =

= 1/π ∙ [ ∫ W(Ω) ∙ cos(Ωτ)∙dΩ]∙ cos(ω0τ) - 1/π ∙ [ ∫ W(Ω) ∙ sin(Ωτ)∙dΩ]∙ sin(ω0τ); (1.4)

Учитывая, что ω0 >> α :

В(τ) ≈ 1/π ∙ [ ∫ W(Ω) ∙ cos(Ωτ)∙dΩ]∙ cos(ω0τ), (1.5)

В0(τ) = 1/π ∙ ∫ W(Ω) ∙ cos(Ωτ)∙dΩ, (1.6)

где: W(Ω) – НЧ спектр мощности, равный спектру мощности W(ω), но смещенный в область низких частот на величину ω0.

Использование свойства (1.3) дает возможность свести нахождение корреляционной функции полосового ВЧ процесса к определению функции корреляции соответствующего НЧ процесса.

Вычисление интегралов при нахождении функции корреляции необходимо

производить следующим образом:

- варианты 0; 1: интеграл берется интегрированием по частям (см. формулу в приложении к методуказаниям);

- вариант 2: несобственный интеграл берется по формуле (см. приложение к методуказаниям);

- вариант 3: несобственный интеграл берется по формуле (см. приложение к методуказаниям);

- вариант 4: интеграл вычисляется элементарно;

- вариант 5: интеграл вычисляется элементарно, с учетом соотношений (1.3) и (1.6), где W(Ω)= W0;

- вариант 6: интеграл берется интегрированием по частям (см. формулу в приложении к методуказаниям), с учетом соотношений (1.3) и (1.6), где

W(Ω)= W0∙ Ω/α;

- вариант 7: интеграл берется интегрированием по частям (см. формулу в приложении к методуказаниям), с учетом соотношений (1.3) и (1.6), где W(Ω)=W0∙ [1-Ω/α];

- вариант 8: несобственный интеграл берется по формуле (см. приложение к методуказаниям), с учетом соотношений (1.3) и (1.6), где W(Ω)=W0∙α2/(α 22);

- вариант 9: несобственный интеграл берется по формуле (см. приложение к методуказаниям), с учетом соотношений (1.3) и (1.6), где W(Ω)=W0∙exp[-Ω22];

При расчете функции корреляции в варианте 4, ее следует привести к виду В0(τ)=W0∙α/π∙sin(α∙τ)/(α∙τ). Аналогично и для варианта 5. В данном виде легче строится график функции. Зная вид функции sin(α∙τ)/(α∙τ) и определив значения τ, при которых функция равна нулю: В0(τ)=0 при sin(α∙τ)=0; α∙τ=kπ; τ= kπ/α, где k=1, 2, ..., можно задавшись несколькими промежуточными значениями τ быстро рассчитать и построить график функции. К подобным видам приводятся функции корреляции в вариантах 0 и 1 при использовании формулы интегрирования по частям и формулы тригонометрического преобразования для (1-cosX) из приложения к методуказаниям.

При построении графика В(τ) при ω0≠0, огибающую В0(τ) следует строить с указанием масштаба по оси τ, а ВЧ заполнение с частотой ω0 – показать условно.

Определение эффективной ширины энергетического спектра ∆ωэ и

интервала корреляции τк случайного процесса для разных вариантов задания можно по разному. Существует несколько способов их определения:

а). Определение ∆ωэ и τк методом эквивалентного прямоугольника. Этот метод обычно используется при неограниченно протяженных В0(τ) и W(ω). В нем необходимо взять интегралы от W(ω) и В(τ) [4 с.163-164]:

 

∆ωэ = ∫W(ω)∙dω / Wмакс.(ω), (1.7)

τк = ∫В0(τ)∙dτ / В0(0), (1.8)

где: Wмакс.(ω) – максимальное значение энергетического спектра;

В0(τ) – функция корреляции огибающей случайного процесса.

б). Если спектр процесса идеализирован, т. е. отличен от нуля в конечной полосе частот, то ∆ωэ можно принять равной полосе частот, в которой W(ω) ≠0. Этот метод можно применить для ограниченного по частоте энергетического спектра.

в). Можно вычислить τк по графику В0(τ) как временной интервал от τ = 0, до τ = τк, при котором В0(τ) ≈ 0,1∙В0(0). Аналогично и для ∆ωэ – по графику W(ω) как полоса частот от ω = 0, до ω = ∆ωэ, при которой W(ω) ≈ 0,1∙Wмакс.(ω). Этот метод также как и метод а) может быть применен для случая неограниченно протяженных В0(τ) и W(ω).

г). Интервал корреляции τк можно найти как минимальное значение τ, при котором В0(τ) = 0. Этот метод применим для случайных процессов, функция корреляции которых имеет «нулевые точки» (варианты 0, 1, 4, 5).

При взятии интегралов в методе а) чаще всего используются формулы для несобственных, табличных интегралов (см. приложение к методуказаниям), по которым можно провести необходимые расчеты.

Математическое выражение для функции плотности вероятности р(х) нормального случайного процесса можно найти в [2- с.46; 4- с.140]. Значение дисперсии случайного процесса σ2 можно определить по корреляционной функции В(τ):

D(x) = σ2 = В(τ=0) = В(0). (1.9)

Математическое выражение функции распределения F(x) и расчет вероятности попадания значений случайного процесса в заданный интервал

Ρ(c < x ≤ d) приводятся в [ 2- с.47, пример 2.6; 4- с.140-141]:

Ρ(c < x ≤ d) = F(d) – F(c) = Ф[(d-m)/σ] - Ф[(c-m)/σ], (1.10)

где: m – математическое ожидание (среднее значение) случайного процесса;

Ф(х) – интеграл вероятностей.

Ф(х) = 1/√2π∙∫exp(-t2/2)∙dt; (1.11)

Таблица значений интеграла вероятностей [13] и рекуррентная формула их расчета [1] приведены в приложении к методуказаниям. Обратите внимание на виды интеграла вероятностей, их взаимосвязь и определение значений одного интеграла через другой. Следует внимательно брать значения требуемого интеграла вероятностей из литературы, учитывая, что их обозначения в разной литературе разные и не имеют корреляции.

Задача 2

Стационарный случайный процесс Х(t) имеет одномерную функцию

плотности вероятности (ФПВ) мгновенных значений р(х), график и параметры

которой приведены в таблице 3.

Требуется:

1. Определить параметр h ФПВ.

2. Записать математическое выражение и построить график ФПВ- р(х).

3. Определить функцию распределения вероятностей (ФРВ) мгновенных

значений случайного процесса - F(x).

4. Записать математическое выражение и построить график ФРВ- F(х).

5. Рассчитать значения математического ожидания М(х) и дисперсии D(х).

Таблица 3

Последняя цифра номера варианта   ФПВ р(х) Предпоследняя цифра номера варианта   Параметры ФПВ
      а c d b e
0 или 9       -2   -1       0,1
          0,25
1 или 8         -1                 0,2
  -2         0,3
2 или 7               0,25
  -3         0,28
h

Или 6