Определение.Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом
Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:
Абсолютный начальный момент: .
Абсолютный центральный момент: .
Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.
№ 16. Нормально распределение Н.С.В.
Нормальное распределение,[1][2] также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей сфункцией Гаусса:
где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ —стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.
Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений. Многомерный случай описан в многомерном нормальном распределении.
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1.
Случайная непрерывная величина X имеет нормальное (гауссово) распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид
где 
— среднее квадратическое отклонение; а — математическое ожидание.
Если а=0 и σ=1, то нормальное (гауссовое) распределение называется стандартным нормальным (гауссовым) распределением (таблица плотности вероятности нормальной случайной величины), плотность которого равна
а функция распределения (функция Лапласа) (таблица функции Лапласа)
Вероятность попадания в заданный интервал (α;β) нормально распределенной случайной величины с параметрами а, σ вычисляется по формуле:
с использованием интеграла вероятности
| P(α<x<β)=F(α)-F(β)=Ф( | β-a | ) |
| σ |
| -Ф( | α-a | ) |
| σ |
Из этих соотношений легко получить вероятность отклонения распределения случайной величины X от своего математического ожидания а:
| P(|X-a|<δ)=2Ф( | δ | ) |
| σ |
,где δ — величина отклонения.
Полагая в этой формуле δ=3σ, получаем
P(|X-a|<δ)=2Ф(3)=2*0.49865=0.9973
Этот результат носит название «правило трех сигм». Таким образом, в 99,7% случаях все значения нормального распределения случайной величины сосредоточены в интервале (-3σ+a; 3σ+a). Распределение, заданное на бесконечном интервале, может быть рассмотрено на конечном интервале, и погрешность при такой замене равно ,примерно, 0,3%.
Пример 1
На станке изготавливается некоторая деталь. Ее длина представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону, и имеет среднее значение 20 см и среднее квадратическое отклонение 0,3 см. Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 19,7 см и 20,3 см.
Решение.
| P(19.7<x<20.3)=Ф( | 20.3-20 | ) |
| 0.3 |
| -Ф( | 19.7-20 | )=Ф(1)-Ф(-1) |
| 0.3 |
В силу нечетности функции Ф(х):
P(19.7<x<20.3)=Ф(1)+Ф(1)=2Ф(1) Из таблицы функции Лапласа получаем:
Ф(1) =0,3413. Следовательно, Р(19,7<х<20,3)=2Ф(1) = 0,6826.
Пример 2
Определить среднеквадратическое отклонение показаний прибора, если систематических ошибок он не имеет, а случайные ошибки распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,79 не выходят за пределы ±20 мм.
Решение.
Пусть случайная величина X — ошибка показаний прибора.
Из условия задачи следует, что Р(|Х|<20)=0,79. Из формулы
| P(|X-a|<δ)=2Ф( | δ | ) |
| σ |
получим
| 2Ф( | δ | )=0.79 |
| σ |
| ⇒Ф( | δ | )=0.395 |
| σ |
по таблицы функции Лапласа находим
| δ | =1.25 | |
| σ |
откуда, подставляя δ=20, найдем