Приклади розв’язування задач. (коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

О.С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Міністерство освіти і науки України

Вінницький національний технічний університет

С.Г. Авдєєв, Т.І. Бабюк,

О.С. Камінський

ЗБІРНИК ЗАДАЧ З ФІЗИКИ

Частина 2

(коливання і хвилі, хвильова і квантова оптика)

Вінниця ВНТУ 2009

Частина 2

Розділ 1. Гармонічні коливання і хвилі

Основні формули

1. Зміщення, швидкість і прискорення матеріальної точки при гармонічних коливаннях визначаються рівняннями:

 

х = А cos (w t + j0),

 

υ = - A w sin (wt + j0),

 

a = - A w2cos (wt + j0) = - w2 x,

 

де А - амплітуда коливань;

w - циклічна частота;

j0 - початкова фаза коливань.

2. Зв’язок циклічної частоти w з періодом коливань Т і частотою n:

 

w = = 2 p n.

 

3. Сила, яка діє на тіло при вільних гармонічних коливаннях (квазіупружна сила):

 

F = ma = - m w2 x = - k x,

 

де k = mw2 - коефіцієнт квазіупружної сили, який вимірюється силою, що визиває зміщення х = 1.

4. Кінетична, потенціальна і повна енергії гармонічних коливань матеріальної точки:

,

 

,

 

.

 

5. Диференціальні рівняння малих коливань:

а) математичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ;

 

б) пружинний маятник

 

+ x = 0, де , звідки Т = 2p ;

 

в) фізичний маятник

 

+ x = 0, де , звідки T = 2p ,

 

де І - момент інерції маятника відносно осі коливань;

l - відстань від осі коливань до центра мас маятника;

- приведена довжина.

При відсутності опору середовища циклічна частота коливань w називається власною циклічною частотою і позначається через w0.

6. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакового періоду одержуємо гармонічне коливання того ж періоду, амплітуда якого А і початкова фаза j0 визначаються рівняннями:

 

,

 

tq j0 = ,

 

де А1 і А2 - амплітуди коливань, що складаються;

j1 і j2 - початкові фази цих коливань.

7. При додаванні двох однаково направлених гармонічних коливань однакової амплітуди і близьких частот (w1 » w2) одержуємо биття, яке описується рівнянням:

 

x = cos ,

 

 

де - амплітуда биття.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса, тому період биття дорівнює:

 

Tб = p , звідки Tб = .

 

8. При додаванні двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань з однаковою частотою в напрямі координатних осей х і у матимемо рівняння траєкторії результуючого руху матеріальної точки:

 

cos(j2 - j1) = sin2 (j2 - j1),

 

де А1 і А2 - амплітуди коливань, що додаються;

j2 - j1 - різниця фаз цих коливань.

9. Диференціальне рівняння загасаючих коливань :

 

0, або

 

де b = - коефіцієнт загасання;

r - коефіцієнт опору середовища;

- власна циклічна частота коливань.

10. Загальний розв’язок диференціального рівняння для загасаючих коливань має вигляд:

x = A0e-bt cos (wt + a),

 

де А0е-bt - амплітуда загасаючих коливань;

w - циклічна частота загасаючих коливань.

11. Швидкість зменшення амплітуди загасаючих коливань характеризують логарифмічним декрементом загасання

 

δ= ln ,

 

де δ - логарифмічний декремент загасання;

b - коефіцієнт загасання;

Т - період загасаючих коливань.

12. Циклічна частота загасаючих коливань

 

w = , або w = .

13. Період загасаючих коливань:

 

T = , або Т = .

14. Добротність коливальних систем

 

q = 2p , або q = ,

 

де Wt - повна енергія, яку має коливальна система на момент часу t;

DW(t=T) - втрати енергії коливальної системи за один період; δ - логарифмічний декремент загасання;

b - коефіцієнт загасання;

w0 - власна циклічна частота коливань;

Т - період загасаючих коливань (при малих загасаннях Т » Т0).

 

15. Диференціальне рівняння вимушених коливань

 

,

 

або

 

де F0 - вимушувана сила;

w - циклічна частота вимушених коливань.

 

16. Загальний розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань, які протягом певного часу встановлюються під дією вимушуваної сили має вигляд:

 

x = A cos (wt + a)

 

де А - амплітуда вимушених коливань;

a - зсув за фазою вимушених коливань і вимушуваної сили.

 

17. Амплітуда вимушених коливань

 

A = ,

де f0 = ;

w0 - власна частота коливань системи;

w - циклічна частота вимушуваної сили.

18. Зсув фази вимушених коливань:

 

tga = - .

 

19. Резонансна частота і резонансна амплітуда:

 

wрез = ;

 

Арез = .

 

 

Приклади розв’язування задач

 

Приклад 1. Частинка здійснює гармонічні коливання вздовж осі х біля положення рівноваги х = 0. Циклічна частота коливань w = 4 c-1. В момент часу t = 0 координати частинки х0 = 25,0 см, а її швидкість v= 100 см/с. Знайти координату х і швидкість υ цієї частинки через t = 2,40 с.

Дано:

w = 4 с-1

х0 = 25,0 см

υ= 100,0 см/с

t = 2,40 с

------------------------------

х = ? υ= ?

Розв’язування: Рівняння гармонічних коливань має вигляд:

 

 

x = Acos (w t + j). (1)

 

Швидкість частинки в довільний момент часу дорівнює:

 

υ = - Aw sin (w t + j) . (2)

 

В початковий момент часу t = 0 величини х і υ відповідно дорівнюють х0 і υ0:

x0 = A cos j i υ0 = - Aw sin j (3)

 

Розв’язавши систему рівнянь (3), одержимо значення амплітуди коливань і початкової фази:

 

= 1 , звідки А = ;

 

cos j = , звідки j = arc cos .

 

Числові значення амплітуди і початкової фази в одиницях умови задачі

A = = 35,5 cм

j = arc cos .

 

Скориставшись значеннями амплітуди коливань і початкової фази, знаходимо координату х і швидкість υ в момент часу t:

 

x = 35,5 cos (4 × 2,40 + p/4) = - 20,2 (см)

 

υ= - 35,5 × 4sin (4 × 2,40 + p/4) = 115,7 (см/с)

 

Відповідь: х = - 20,2 см; υ= 115,7 см/с.

 

Приклад 2. В результаті додавання двох гармонічних коливань однакового напрямку і близьких частот одержали результуюче рівняння:

 

x = A cos 2,1 t cos 50,0 t (см)

 

Визначити циклічні частоти коливань, які додаються, і період биття.

Розв’язування: Відомо, що при додаванні двох гармонічних коливань з близькими частотами w1 і w2 рівняння результуючого руху має вигляд:

 

х = .

 

Порівнюючи це рівняння і рівняння умови задачі, маємо

 

= 2,1 c-1 i = 50,0 c-1

Звідки w1 = 47,9 c-1; w2 = 52,1 c-1.

 

Періодичність зміни амплітуди визначається періодичністю зміни модуля косинуса:

 

Tб = p ,

де Тб - період биття.

 

Знаходимо період биття

 

Tб = = 1,49 (с)

Відповідь:w1 = 47,9 с-1; w2 = 52,1 с-1; Тб = 1,49 с.

 

Приклад 3. Рівняння руху частинки мають вигляд:

 

х = Аsin wt; (1) y = В cos wt, (2)

 

де А і В - амплітуди коливань частинки вздовж координатних осей х і y. Знайти:

а) рівняння траєкторії частинки у(х) і напрям її руху вздовж цієї траєкторії;

б) прискорення а в залежності від напряму радіуса вектора .

 

Розв’язування: Рівняння траєкторії частинки одержимо, якщо рівняння (1) і (2) записати в такому вигляді:

 

sin wt = , cos wt = .

Піднесемо до квадрату:

 

= sin2wt; = cos2 wt;

 

Додавши ці рівняння одержимо:

 

+ = 1 - еліпс

 

Будуємо цю траєкторію в декартовій системі координат (рис.1):

 

Рис. 1

 

Аналізуючи рівняння (1) і (2) в різні моменти часу, знаходимо, напрям руху частинки вздовж траєкторії

а) при t = 0, х = 0 і у = В - початок руху ;

б) при t = p/4, х = А і у = 0 - наступна точка;

в) при t = T/2, х = 0 і у = -В і т.п.

 

Результуюче прискорення руху частинки визначаємо із відповідних прискорень руху вздовж осей х і у

 

υх = А wсos wt; ах= - А w2 sin wt = - w2 x;

 

υy = - В w sin wt; ay= - Вw2 cos wt = - w2 y;

 

.

 

Модуль вектора дорівнює

 

a = w2 = w2 r ,

 

де - модуль радіуса-вектора частинки в довільний момент часу.

Радіус-вектор частинки завжди направлений від початку координат до положення точки на траєкторії. Вектор результуючого прискорення завжди направлений від положення частинки на траєкторії руху до початку координат, тобто

 

.

ПРИКЛАД 4. Однорідний стержень поклали на два блоки, які швидко обертаються, як це показано на рис.2. Відстань між осями блоків l = 20 см, коефіцієнт тертя ковзання між стержнем і блоками k = 0,18. Показати, що стержень буде здійснювати гармонічні коливання. Знайти період цих коливань.

Дано: l = 20 см k = 0,18 ----------------- Т - ?     Рис.2

Розв’язування: При зміщенні стержня вліво на величину х від положення рівноваги сили тертя F1 i F2, які виникають між стержнем і блоками дорівнюють

 

F1 = F2 =

де r - густина матеріалу стержня;

S - переріз стержня;

k - коефіцієнт тертя ковзання.

Повертаюча сила, яка виникне в цьому випадку, буде дорівнювати:

 

F = - (F1 -F2) = - 2 r g S k x (1)

 

За другим законом Ньютона ця ж сила дорівнює:

 

F = m a (2)

 

Порівнюючи праві частини рівностей (1) і (2), маємо

 

ma + 2 r g S k x = 0,

aбо

 

x = 0 . (3)

 

Одержане диференціальне рівняння (3) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань визначається співвідношенням:

 

w2 = ,

звідки

T = 2p ,

 

або врахувавши, що m = rlS, одержимо:

 

T = 2p .

Підставимо числові значення:

 

T = 6,28 × = 1,5 (c) .

 

Відповідь: Т = 1,5 с.

Приклад 5. Фізичний маятник у вигляді тонкого прямого стрижня довжиною 120 см коливається біля горизонтальної oсі, яка проходить перпендикулярно до стрижня через точку, віддалену на деяку відстань а від центра мас стрижня. При якому значенні ае період коливань буде мати найменше значення? Знайти величину цього періоду ?

 

Дано:

 
 


l = 120 см

-----------------

аe - ?

Тmin - ?

 

Розв’язування: Відведений від положення рівноваги стрижень буде здійснювати коливання відносно закріпленої осі, яка співпадає з віссю Z (рис.3). Покажемо, що при малих кутах відхилення (j < 7°), ці коливання будуть гармонічними. В будь-який момент часу на стрижень діють дві сили, сила тяжіння і сила реакції опори. Однак, обертаючий момент створюється лише силою тяжіння.

 

M =- mga sin j, (1)

 

де а - відстань від осі обертання до центра мас стрижня;

j - кут відхилення стрижня від положення рівноваги.

Для малих кутів sinj = j , а напрям вектора протилежний до напрямку осі Z, тому

 

Mz = - mga j, (2)

 

Згідно з основним рівнянням динаміки обертального руху цей момент дорівнює:

 

Mz = І (3)

 

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3), одержимо:

 

I + mga j = 0

Звідки:

j = 0. (4)

 

Рівняння (4) є диференціальним рівнянням гармонічних коливань, квадрат циклічної частоти яких дорівнює:

w2 = (5)

де І - момент інерції стрижня відносно осі обертання;

а - відстань від точки підвісу до центра мас.

Момент інерції стрижня знайдемо за теоремою Штейнера, згідно з якою:

I = I0 + m a2,

 

де І0 = ml2 - момент інерції стрижня відносно осі, яка проходить через центр мас стрижня. Тому

І = m l2 + ma2 . (6)

 

Підставимо (6) в (5) і визначимо період коливань

 

T = 2p . (7)

 

Для визначення екстремальної відстані ае від центра мас до точки підвісу, похідну по а підкореневого виразу формули (7) прирівняємо до нуля:

= 0 , .

Звідки

2 a2 - - a2 = 0;

 

ae = ± . (8)

ae = ± 0,34 (м).

 

Величину ае з (8) підставимо в (7) і знайдемо значення найменшого періоду коливань фізичного маятника:

Tmin = 2p = 1,67 (c).

Відповідь: ае = 34 см; Тmin = 1,67 c.

 

Приклад 6. Кулька масою m і радіусом r котиться без ковзання по внутрішній поверхні циліндра радіусом R, виконуючи малі коливання біля положення рівноваги. Визначити період коливань кульки.

 

 
 

 


Розв’язування: На відведену від положення рівноваги кульку діють дві сили, сила тяжіння mg і сила реакції опори з точкою прикладання о1. Обертаючий момент відносно миттєвої точки о1 створюється лише силою тяжіння (рис.4.):

М = - mgr sin a (1)

 

де mg - сила тяжіння;

r - радіус кульки;

a - кут відхилення радіуса - вектора кульки від положення рівноваги.

У випадку, коли кут a < 7°, sin a = a. В цьому випадку

 

M = - mgra (2)

 

За основним рівнянням динаміки обертального руху момент сили тяжіння дорівнює

 

М = І b, (3)

де І - момент інерції кульки відносно миттєвої вісі, яка проходить через точку о1 ;

b - кутове прискорення кульки відносно точки о1.

Прирівняємо праві частини рівностей (2) і (3):

 

I b + mgr a = 0 (4)

 

Момент інерції кульки відносно миттєвої осі знаходимо за теоремою Штейнера:

I = mr2 + mr2 = mr2 (5)

Кутове прискорення кульки b можна визначити через дотичне прискорення аt і радіус кульки r:

at = b r . (6)

 

Дотичне прискорення аt також можна визначити по відношенню до точки о циліндра:

at = e (R - r) , (7)

 

де e - кутове прискорення кульки відносно точки о, яке пов’язане із зміною кута повороту a за часом (e = a );

(R - r) - відстань від точки о до центра мас кульки.

Прирівняємо праві частини рівностей (6) і (7) і визначимо b:

 

b = . (8)

Значення І з (5) і b з (8) підставимо в (4), одержимо:

 

+ mgr a = 0.

Звідки

= 0. (9)

 

Диференціальне рівняння (9) є рівнянням гармонічних коливань. Циклічна частота цих коливань дорівнює

 

w = .

 

Отже період коливань кульки:

 

T = 2p .

Приклад 7. Тіло масою 1 кг знаходиться у в’язкому середовищі з коефіцієнтом опору r = 0,05 кг/с. З допомогою двох однакових пружин жорсткістю k = 50 Н/м кожна тіло утримується в положенні рівноваги, пружини при цьому не деформовані. Тіло змістили від положення рівноваги, як це показано на рис.5, і відпустили. Визначити: 1) коефіцієнт загасання b; 2) частоту n коливань; 3) логарифмічний декремент коливань δ; 4) число N коливань за час, протягом якого амплітуда коливань зменшиться в е разів; 5) добротність коливної системи.

 

 

Дано:

m = 1 кг

r = 0,05 кг/с

k = 50 Н/м

--------------------------

b - ? n - ? δ - ?

N - ? q - ?

 
 
Рис .5


Аналіз задачі. На відведене від положення рівноваги тіло (рис.5) діють дві однакові сили F1 = F2 = kx, які направлені в один бік. Повертаюча сила в цьому випадку дорівнює:

 

Fn = - 2kx. (1)

 

При русі тіла у в’язкому середовищі з боку останнього виникає сила опору, яка пропорційна швидкості руху тіла:

 

F0 = - r . (2)

Інших сил в напрямі руху тіла при здійсненні коливань не існує. За другим законом Ньютона результуюча цих двох сил призводить до виникнення прискорення, тобто можна записати:

 

m = - r . (3)

 

Рівняння (3) можна перетворити:

 

= 0, (4)

 

де = 2b, b - коефіцієнт загасання;

= w02, w0 - власна циклічна частота.

 

З урахуванням позначень рівняння (4) набуде вигляду:

 

= 0. (5)

 

Рівняння (5) є диференціальним рівнянням загасаючих коливань, розв’язком якого є функція:

 

x = A0 e-bt cos (wt + j) (6)

Розв’язування: а) Коефіцієнт загасання дорівнює

 

b = = 0,025 c-1.

 

б) Частоту коливань n знайдемо за формулою:

 

n = = 1,59 c-1.

 

в) Логарифмічний декремент загасання дорівнює

 

δ = ln = 0,0157.

г) Число коливань, які будуть виконані коливною системою за час t, протягом якого амплітуда зменшиться в е разів:

 

N = ,

 

де t - час, за який амплітуда зменшується в e paзів;

Т - період загасаючих коливань.

Спочатку знайдемо час t

 

1 = ln = b t

 

Звідки

t = .

Тоді

N =

 

д) Добротність коливної системи

 

= 200.

Відповідь: n = 1,59 с-1; δ= 0,0157; N = 64; q = 200.

Приклад 8. Частинку змістили від положення рівноваги на відстань А0 = 1 см і відпустили. Який шлях пройде ця частинка, здійснюючи загасаючі коливання, до повної зупинки, якщо логарифмічний декремент загасання δ = 0.01 ?

Розв’язування: Зміщена від положення рівноваги частинка за перші чверть періоду, після того, як її відпустили, пройде шлях S1 = A0. За кожну наступну половину періоду частинка буде проходити відповідно шляхи

 

S2 =2A0 ; S3 = 2A0 ; S4 = 2 A0 × i т.п.

 

Весь шлях руху частинки буде дорівнювати

 

S = S1 + S2 + S3 +....+ Sn.

Або

S = А0 + 2А0 + 2А0 + 2А0 +...+ 2А0 .

 

Після спрощення одержимо

 

S = A0 × .

 

В круглих дужках безмежно спадна геометрична прогресія, сума членів якої визначається формулою

 

Sn = ,

 

де а1 = - перший член геометричної прогресії; q = - знаменник прогресії.

Тому

S = A0 × .

 

Врахувавши те, що bТ =δ, одержимо

 

S = 0,01 × = 4 (м)

 

Відповідь: S = 4 м.

 

Приклад 9. До спіральної пружини жорсткістю 10 Н/м підвісили тягарець масою 10 г і занурили всю систему у в’язке середовище. Прийнявши коефіцієнт опору середовища рівним 0,1 кг/с, визначити: а) частоту n0 власних коливань; б) резонансну частоту nрез; в) резонансну амплітуду Арез, якщо змушуюча сила змінюється за гармонічним законом і її амплітудне значення F0 = 0,02 Н; г) відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення пiд дією сили F0.

Аналіз теорії задачі.

На тягарець, який здійснює коливання, окрім сили тертя і пружної сили, діє зовнішня сила, яка змінюється за гармонічним законом.

З урахуванням дії всіх сил диференціальне рівняння коливань матиме вигляд:

m + r + kx = F0 cos w t (1)

 

Поділимо рівняння (1) на масу тягарця m і введемо позначення:

 

; ; , одержимо

 

+ 2b × + w02 x = f cos wt (2)

 

Рівняння (2) є неоднорідним лінійним диференціальним рівнянням другого порядку. Рoзв’язком такого рівняння є функція, яка складається з двох частин:

 

x = A0e-bt cos(wt + j) + A cos (wt + j) . (3)

 

Через деякий час під дією змушуючої сили коливання тягарця стануть стабільними. Тому розв’язком рівняння (2) буде лише функція

 

x = A cos (wt + j). (4)

 

Першу та другу похідні від (4) підставимо в (2):

 

= - Aw sin (wt + j) = Awcos (wt + j + p/2),

 

= - Aw2 cos (wt + j) = Aw2 cos (wt + j + p) ,

 

Aw2 cos (wt + j + p) + 2 b Aw cos (wt + j + p/2) +

+ Aw2 cos (wt + j) = f0 cos wt (5).

 

Введемо позначення: А1 = Aw2; A2 = 2 b Aw; A3 = A w02; A4=f0.

Для знаходження амплітуди А вимушених коливань скористаємось векторною діаграмою, на якій відкладемо амплітуди А1, А2, А3, А4 згідно з (5) (рис.6)

 
 

 


A42 = A22 + (A3 - A1)2, або врахувавши позначення, одержимо:

 

f02 = 4b2 A2 w2 + (w02 - w2) A2

Звідки маємо:

A = . (6)

 

Аналіз виразу (6) амплітуди вимушених коливань:

а) w << w0, тобто w ® 0

Aст = , (7)

де Аст - статичне зміщення тягарця під дією сталої сили F0.

б) w » w0

Aр = , (8)

 

де Ар - резонансне значення амплітуди.

При b ® 0, Аp ® ¥.

Для знаходження резонансної частоти і резонансної амплітуди дослідимо на максимум підкореневий вираз формули (6):

 

= 0 .

 

Звідки

 

wр = , (9)

 

де wр - резонансна частота вимушених коливань.

Значення wр з (9) підставимо в (6)

 

Aр = . (10)

 

Якщо b ® 0, то Aр = , що співпадає з формулою (8).

Розв’язування:

а) Частота n0 власних коливань тягарця дорівнює

 

n0 = = 5,03 c-1.

 

б) Резонансна частота знаходиться за формулою (9)

 

nр =

 

= 4,91 c-1 .

 

в) Резонансну амплітуду знайдемо за формулою (10):

 

Aрез = = 6,4 × 10-3 (м).

 

г) Відношення резонансної амплітуди до статичного зміщення тягарця, тобто добротність коливної системи, дорівнює

 

=

 

= = 160 .

 

Відповідь: n0 = 5,03 с-1; nр = 4,91 с-1; Ар = 6,4 мм; q = 160.

 

 

Механічні хвилі

 

Основні формули

Рівняння плоскої хвилі

,

де Ux,t - зміщення точок пружного середовища від положення рівноваги на відстані x від джерела;

А - амплітудне зміщення цих точок;

- хвильове число;

l - довжина хвилі;

w - циклічна частота коливань.

 

Рівняння сферичної хвилі.

,

 

де r - радіус-вектор пружного середовища.

3. Зв`язок довжини хвилі з періодом коливань і частотою:

 

де υ - швидкість поширення хвиль в пружному середовищі;

Т - період коливань;

n - частота коливань.

4. Швидкість поширення хвиль (фазова швидкість хвильового руху):

а) поздовжня хвиля в твердому середовищі:

 

де Е- модуль Юнга;

r - густина твердого середовища.

 

б) поперечна хвиля в твердому середовищі:

 

,


де G - модуль зсуву;

r - густина твердого середовища.

 

в) повздовжня хвиля в рідкому середовищі:

 

,

 

де K - модуль об’ємної пружності рідини;

r - густина рідини.

 

г) поздовжня хвиля в газоподібному середовищі:

 

υ = ,

де g - стала Пуассона ( );

R - газова стала;

Т - абсолютна температура;

m - молярна маса газу.

 

5. Енергія пружних хвиль:

а) кінетична енергія

 

,

 

де m = rSDx - маса виділеного елемента пружного середовища;

- швидкість хвильового руху точок середовища.

 

б) потенціальна енергія

 

 

в) повна енергія хвиль

 

W = K + П = r S Dxw2 A2cos2 (wt - kx);

 

г) густина енергії

 

w = ;

 

д) середні значення повної енергії і густини енергії за час в один період

, .

 

6. Потік енергії пружних хвиль

R = ,

 

де - середнє значення повної енергії хвиль.

 

7. Вектор потоку енергії пружних хвиль

 

,

 

де - середня густина енергії пружних хвиль;

- вектор швидкості поширення хвиль в пружному середовищі.

 

8. Ефект Допплера для звукових хвиль

 

n ,

 

де n - частота звуку яка сприймається приймачем;

n - частота звуку джерела;

с - швидкість поширення звукових хвиль в пружному середовищі;

υ - швидкість руху приймача звуку;

u- швидкість руху джерела звуку (нижній знак - джерело і приймач розходяться; верхній знак - джерело і приймач сходяться).

 

9. Інтерференція когерентних хвиль:

а) максимуми інтерференції спостерігаються, коли

 

Dj = 2p ­± 2n p,

де х2 - х1 - різниця ходів двох хвиль;

Dj - різниця фаз хвиль;

l - довжина хвилі;

n = 0, 1, 2, 3, ... - порядок max.

 

Або

Dx = (x2 - x1) = n × l;

 

б) мінімуми інтерференції спостерігаються, коли:

 

Dj = 2p .

або

Dx = (x2 - x1) = (2n + 1) l/2.

 

10. Рівняння стоячої хвилі

 

Ux,t = êA cos kxïcos wt ,

де Ux,t - зміщення точок середовища від положення рівноваги на відстані х від джерела коливань;

А - амплітуда зміщення;

k = - хвильове число;

w - циклічна частота коливань;

ïAcoskx ê - амплітуда стоячої хвилі.

 

а) Координати вузлів стоячої хвилі

 

kx = ± (2n + 1)p/2 , або x = ± (2n + 1)l/4 ,

 

де n = 0, 1, 2, 3, ...;

х - координати вузлів стоячої хвилі.

 

б) Координати пучностей стоячої хвилі

 

kx = ± np або x = ± n l

 

де n = 0, 1, 2, 3, .... .