К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы. 1. Какие уравнения называются
1. Какие уравнения называются
а) параметрическими уравнениями прямой;
б) каноническими уравнениями прямой?
2. Каков геометрический смысл коэффициентов
а) параметрических уравнений прямой;
б) канонических уравнений прямой?
3. Сколько существует для заданной прямой
а) параметрических уравнений;
б) канонических уравнений?
4. Запишите векторно-параметрические уравнения прямой.
5. Пусть прямая задана в виде пересечения двух плоскостей: 
и 
. Выпишите какой–либо направляющий вектор этой прямой.
6. Пусть прямая задана в виде пересечения двух плоскостей. Как перейти для этой прямой к
а) параметрическим уравнениям;
б) каноническим уравнениям?
7. Найдите угол между прямыми 
и 
(Рассмотрите различные сочетания способов задания двух прямых). 
8. Найдите угол между прямой и плоскостью (рассмотрите различные сочетания способов задания прямой и плоскости).
9. Вычислите расстояние от точки М0(x0;y0;z0) до прямой
а) x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt;
б) ;
в) 
10. Запишите условия, при которых две заданные прямые
а) совпадают;
б) параллельны различны;
в) пересекаются;
г) скрещиваются
(Рассмотрите различные сочетания способов задания прямых ).
11. Пусть прямые x=x1+l1t, y=y1+m1t, z=z1+n1t и x=x2+l2t, y=y2+m2t, z=z1+n1t скрещиваются.
а) Как вычислить расстояние между этими прямыми?
б) Опишите алгоритм нахождения общего перпендикуляра к этим прямым.
12. Пусть заданы прямая x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt и плоскость 
Запишите условия, при которых
а) прямая лежит в плоскости;
б) прямая параллельна плоскости;
в) прямая пересекает плоскость;
г) прямая перпендикулярна плоскости.
(Рассмотрите такую задачу для других способов задания прямой и плоскости).
| Примеры: |
1. Запишите параметрические уравнения прямой, заданной в виде пересечения плоскостей 
 | |||
 |
Р е ш е н и е: Вектор 
перепендикулярен плоскости (1), вектор 
перпендикулярен плоскости (2). Следовательно, вектор 
будет направляющим для данной прямой.Можно взять в качестве направляющего и вектор 
. Выбираем какое-либо частное решение исходной системы, например, (2;0;1), получаем точку на данной прямой. Таким образом, по точке М0 (2;0;1) и направляющему вектору 
записываем (рис.5)
О т в е т : 
2.Запишите уравнение прямой, которая проходит через точку М0(1;4;2) перпендикулярно плоскости 2х–5у–z–7=0.
Р е ш е н и е: Вектор 
перпендикулярен заданной плоскости и, следовательно, параллелен искомой прямой. Поэтому, например, каноническими уравнениями этой прямой будут уравнения
.
О т в е т: (рис.6).
3. Докажите, что прямые 
и 
скрещиваются.
 |
 |
 |
Р е ш е н и е:Случай скрещивания двух прямых 
можно установить, проанализировав взаимное расположение направляющих векторов 
и вектора-мостика 
. Только в случае скрещивания прямых эти три вектора некомпланарны. Итак, выпишем направляющие векторы этих прямых 
, 
. Найдем какой-либо вектор-мостик прямых: 
, 
, отсюда 
. Векторы , 
некомпланарны, как известно, тогда и только тогда, когда их смешанное произведение не равно нулю. В данном случае, 
. Таким образом, утверждение доказано (рис.7,8,9,10).
4. Запишите уравнения прямой, проходящей через точку 
и параллельной прямой 
Р е ш е н и е: Любая прямая, параллельная данной, может быть за-
дана системой 
Подберем 
таким образом, чтобы точка М0 удовлетворяла
системе (*): 
, 
Получим
О т в е т: 
(рис.11).
5. Найдите угол 
между прямой 
и плоскостью 
Р е ш е н и е: Направляющий вектор прямой– 
, нормальный вектор плоскости– 
. Поэтому 
Тогда 
(а как записывался бы ответ в случае, если бы получили, что 
?)
О т в е т: .(рис.12).
7. Вычислите расстояние от точки М0(1;2;–3) до прямой 
.
 |
Р е ш е н и е:
1) Способ первый.
Через точку М0 проведем плоскость,
перпендикулярную данной прямой: 
.
Затем найдем точку пересечения этой плоскости с заданной прямой. Для этого решим систему 
Отсюда 
. Поэтому решением рассматриваемой системы будет точка 
. Расстояние между точками M0, N0 и будет искомым: 
(лин. ед.).(см.рис.13).
2)Способ второй
Эту задачу можно решить векторным способом. Возьмем какие-либо точку и направляющий вектор на заданной прямой, например, М1(4;1;2), 
Затем построим параллелограмм на векторах 
. Очевидно, длина высоты h этого параллелограмма и будет искомым расстоянием (рис.14):
где 
, а 
(см. тему «Векторное умножение векторов»).
, поэтому 
.
Но тогда 
(лин. ед.).
О т в е т: 
(лин. ед.).
“ПРЯМАЯ
по теме В ПРОСТРАНСТВЕ”
1. Дана прямая х=1-3t, y=2t, z=5+t.
1) Укажите какой-либо направляющий вектор этой прямой.
2).Лежит ли точка 
на этой прямой?
3) Запишите какие-либо канонические уравнения заданной прямой.
4) Запишите какие-либо параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(3;1;5) параллельно заданной
прямой.
5) Лежит ли данная прямая в плоскости x+y+z-6=0?
6) Будет ли прямая x=2t, y=1+t, z=5-t скрещиваться с данной прямой?
7) Вычислите косинус угла между заданной прямой и прямой x=5-t, y=4+3t, z=6+2t.
8) Вычислите расстояние от точки С(1;0;0) до заданной прямой.
9) Напишите какое-либо общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно заданной прямой.
2. Дана прямая 
1) Укажите какой-либо направляющий вектор этой прямой.
2) Лежит ли точка 
на этой прямой?
3) Запишите какие-либо канонические уравнения этой прямой.
4) Вычислите косинус угла между плоскостью 2x+y+3z+7=0 и заданной прямой.
3. Для прямой 
1) укажите какой-либо направляющий вектор;
2) запишите какие-либо ее параметрические уравнения;
3) выясните, будет ли она совпадать с прямой 
4. Запишите какие-либо канонические уравнения прямой, проходящей через точки 
и 
.
5. Запишите какие-либо канонические уравнения прямой, проходящей через точку А(2;1;3) параллельно оси Ох.
6. Запишите какие-либо параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(3;0;-2)
перпендикулярно плоскости 4x-2y+z-25=0.
7. Запишите прямую 
в виде пересечения двух плоскостей,.одна из которых параллельна оси Ox, другая-оси Oy.
Лабораторная работа №6.
Вариант 1
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров l и D прямая 
, 
, 
лежит в плоскости 
?
6. Даны две пересекающиеся плоскости: 
и 
, 
, 
. Выясните, лежат ли точки 
и 
в вертикальных двугранных углах, образованных при пересечении данных плоскостей.
Вариант 2
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
и прямую 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости 
, 
, 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнение перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каком значении параметра m прямые 
, 
, 
и 
пересекаются?
6. Даны две параллельные плоскости: 
и 
. Установите, лежит ли точка 
между этими плоскостями?
Вариант 3
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые 
, 
, 
и 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость 
, 
, 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров l и с прямая 
, 
, 
перпендикулярна плоскости 
?
6. Две грани куба лежат на плоскостях 
, 
. Выясните, может ли точка располагаться внутри такого куба?
Вариант 4
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые 
и 
, 
, 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости 
, , 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнение перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каком значении параметра с плоскости 
и 
перпендикулярны?
6. Даны две пересекающиеся плоскости: 
и 
. Выясните, лежат ли точки 
и 
в смежных двугранных углах, образованных этими плоскостями?
Вариант 5
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямую 
, , 
параллельно прямой 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проек цией прямой 
, 
, 
на плоскость 
, 
, 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнение высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров a и n прямая 
, 
, 
не пересекает плоскость 
.
6. Даны две параллельные плоскости: 
и 
. Выясните, расположена ли точка 
между этими плоскостями?
Вариант 6
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости , 
, 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой , 
, .
5. При каких значениях параметров D и m прямая 
лежит в плоскости 
?
6. Две грани куба лежат на плоскостях 
и 
. Выясните, может ли точка 
располагаться внутри такого куба?
Вариант 7
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей точку 
и прямую 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, , 
на плоскость 
, 
, 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каком значении параметра l прямые , 
, 
и 
, 
, 
пересекаются?
6. Даны две пересекающиеся плоскости: 
и 
. Выясните, лежат ли точки 
и 
в одном двугранном угле, образованном этими плоскостями?
Вариант 8
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямые 
и 
, , .
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости 
, 
, 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каких значениях параметров B и n прямая 
, 
, 
перпендикулярна плоскости 
?
6. Даны две параллельные плоскости: 
и 
. Выясните, располагается ли точка 
между этими плоскостями?
Вариант 9
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые 
, 
, 
и 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость 
.
4. Известны вершины треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каком значении параметра А плоскости 
и 
, 
, 
параллельны?
6. Две грани куба лежат на плоскостях 
и 
. Выясните, может ли точка 
располагаться внутри такого куба?
Вариант 10
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямую 
, , 
и параллельной прямой 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости 
, 
, 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каких значениях параметров l и a прямая , 
, 
не пересекает плоскость 
?
6. Даны две пересекающиеся плоскости: 
и 
. Выясните, лежат ли точки 
и 
в вертикальных двугранных углах, образованных этими плоскостями?
Вариант 11
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
, 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость , , 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров A и m прямая 
, 
, 
лежит в плоскости 
?
6. Даны две параллельные плоскости: 
и 
. Выясните, лежит ли точка между этими плоскостями?
Вариант 12
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей точку 
и прямую 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости 
, 
, 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каком значении параметра n прямые , 
, 
и , 
, пересекаются?
6. Две грани куба лежат на плоскостях 
, 
. Выясните, может ли точка 
располагаться внутри такого куба?
Вариант 13
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые 
и , 
, 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость 
, , 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров С и m прямая 
, 
, 
перпендикулярна плоскости 
?
6. Даны две пересекающиеся плоскости: 
и 
. Выясните, лежат ли точки 
и 
в смежных двугранных углах, образованных этими плоскостями?
Вариант 14
1. Напишите общее уравнение плоскости, содержащей прямые 
и 
, 
, 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно плоскости , 
, .
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
на плоскость 
.
4. Напишите уравнения перпендикуляра, проведенного через точку 
к прямой 
, 
, 
.
5. При каком значении параметра В плоскости 
и 
перпендикулярны?
6. Даны две параллельные плоскости: 
и 
. Выясните, лежит ли точка 
между этими плоскостями?
Вариант 15
1. Напишите общее уравнение плоскости, проходящей через прямую 
, , 
параллельно прямой 
.
2. Вычислите координаты точки, симметричной точке 
относительно прямой 
.
3. Найдите параметрические уравнения прямой, являющейся проекцией прямой 
, 
, 
на плоскость , , 
.
4. Известны координаты вершин треугольника ABC: 
, 
, 
. Запишите уравнения высоты этого треугольника, проведенной из вершины B.
5. При каких значениях параметров С и А прямая 
, 
, 
не пересекает плоскость 
?
6. Две грани куба лежат на плоскостях 
, 
. Выясните, может ли точка 
располагаться внутри такого куба?