Восстановление дискретизированного сигнала с помощью ряда Котельникова
Согласно теореме Котельникова непрерывный сигнал 
, в спектре которого не содержится частот выше 
, полностью определяется последовательностью своих мгновенных значений, отсчитанных через интервал времени 
и может быть представлен рядом
.
(2)
Ряд(2) называют рядом Котельникова. Если представить (2) в следующем виде:
,
(3)
,
(4)
то (в соответствии с выражением (1) 
- система базисных функций, а 
- коэффициенты ряда.
Система базисных функций ортогональна на интервале времени 
, т.е.
(5)
Выражение(5) – это выражение для энергии базисной функции. При 
выражение (5) соответствует взаимной энергии. Т.к. взаимная энергия равна нулю, то система базисных функций ортогональна.
Каждая из базисных функций 
сдвинута относительно ближайшей функции 
и 
на время
,
(6)
соответствующее временному интервалу дискретизации между двумя отсчетными точками, которые иногда называют интервалом Найквиста.
Функция , изображенная на рис. 1. обладает свойством
(7)
где 
- любое целое положительное или отрицательное число.
Рис. 1. График базисной функции
Рис. 2 поясняет аппроксимацию непрерывного сигнала рядом Котельникова. На графике построены три члена ряда (2), соответствующие отсчетам функции в моменты времени 
, 
, 
. При суммировании этих членов ряда в точках отсчетов ( , , ) получаем точные значения сигнала . Следовательно, в отсчетные моменты времени непрерывный сигнал аппроксимируется точно независимо от числа взятых отсчетов, т.е. от числа членов ряда Котельникова. Между отсчетами ( 
) сигнал аппроксимируется точно только в том случае, когда суммируются все члены ряда (2) и соблюдается условие сформулированное в теореме Котельникова.
Рис. 2. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова
Согласно формуле (2) ряд Котельникова может использоваться для восстановления непрерывного сигнала без погрешностей. Однако в реальной ситуации погрешности возникают. Рассмотрим их источники.
На практике ряд Котельникова ограничен. Сигнал, ограниченный во времени приближенно описывается рядом (8), состоящим из конечного числа членов:
.
(8)
При суммировании членов ряда (8) сигнал воспроизводится точно только в точках отсчетов 
. В промежутках между отсчетами возникает погрешность аппроксимации, которая возникает у краев интервала 
, где отброшенные члены ряда имеют наибольшее значение.
Вторым источником погрешности является то, что реальные сигналы ограничены во времени и обладают, следовательно, неограниченным по частоте спектром. Однако вне некоторой полосы частот 
составляющие реальных сигналов обладают малой энергией по сравнению с энергией сигнала . Такие сигналы можно приближенно считать ограниченными по времени и по частоте и представлять рядом Котельникова. Это приближение является источником погрешности.
Рис. 3. Приближенное представление сигнала, ограниченного по времени и частоте
Третьим источником погрешности является неидеальность дискретизации, заключающаяся в том, что значения соответствует не моменту времени (функция дискретизации – последовательность дельта-функций), а небольшому интервалу с длительностью 
(функция дискретизации – последовательность прямоугольных импульсов).
Восстановление дискретизированного сигнала с помощью степенных полиномов, погрешности аппроксимации, определение частоты дискретизации. Виды аппроксимации, погрешность аппроксимации
При аппроксимации сигнал на каждом участке между его известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по определенному закону:
· горизонтальной прямой при ступенчатой аппроксимации;
·отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной аппроксимации;
· участком параболы при параболической аппроксимации.
Разность между аппроксимированным, т.е. восстановленными и действительными промежуточными значениями функции называют погрешностью аппроксимации.
Таким образом погрешность аппроксимации определяется выражением
(9)
Погрешность от аппроксимации зависит от:
· скорости изменения ;
· способа аппроксимации;
· интервала дискретизации.
Погрешность аппроксимации увеличивается с увеличением скорости изменения сигнала, уменьшается с усложнением вида аппроксимации, увеличивается с увеличением интервала дискретизации. Примеры аппроксимации приведены на рис. 4.
Рис. 4. Примеры аппроксимации: а) исходный сигнал; б) дискретизированный сигнал; в) сигнал, восстановленный с помощью ступенчатой аппроксимации; д) сигнал, восстановленный с помощью кусочно-линейной аппроксимации; г), е) – графики погрешностей аппроксимации.
Ступенчатая аппроксимация
При ступенчатой аппроксимации используется степенной полином нулевого порядка, т.е. аппроксимация производится отрезком горизонтальной прямой, начинающимся с момента измерения, предшествующему интервалу восстановления.
.
(10)
Максимальное значение погрешности от аппроксимации 
в этом случае будет на наиболее крутом участке функции, где первая производная достигает наибольшего значения.
.
(11)
Выражение (11) может быть использовано для расчета необходимой частоты дискретизации 
при заданной модели сигнала.
Пример 1
Если принять для расчета 
модель Берштейна, которая справедлива для стационарных случайных функций с равномерным спектром в полосе частот сигнала от 
до 
, то 
, где 
- максимальное значение амплитуды сигнала.
Тогда 
, а приведенная погрешность аппроксимации равна
.
Тогда при заданной погрешности аппроксимации 
частота дискретизации равна
.
Т.е., при 
.
Таким образом при использовании модели Бернштейна при погрешности аппроксимации 1% частота дискретизации должна быть в 628 раз больше частоты сигнала.
Пример 2
Считают, что использование модели Бернштейна приводит к завышенным требованиям к частоте дискретизации. Если принять более реальную модель, когда амплитуды гармонических составляющих с номером 
имеют амплитуду, обратно пропорциональную их номеру, то выражение для частоты дискретизации имеет вид:
,
где 
- частота первой гармоники сигнала.
Для сравнения разных видов аппроксимации будем находить необходимую частоту дискретизации для одной модели сигнала – синусоидальной.
При синусоидальной модели сигнала 
.
(12)
Тогда частота дискретизации равна
.
(13)
При погрешности аппроксимации 
и синусоидальной модели сигнала требования к необходимой частоте дискретизации выглядит следующим образом
