Распределение студентов по успеваемости
| Успеваемость (балл), х | Число сту- дентов, f | Накопленные частоты, S нак | x f | x2 f | 
|
| 88,875 | |||||
| 15,787 | |||||
| 0,086 | |||||
| 1,8136 | |||||
| 46,3333 | |||||
| Итого | - | 152,8949 |
2. Графически дискретный вариационный ряд может быть представлен в виде полигона (рис.5.1), кумуляты (рис.5.2) распределения. Полигон строится в прямоугольной системе координат.
  |
По оси абсцисс откладываются значения дискретного признака, а по оси ординат – частоты распределения. Полигон часто замыкается, - для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном примере х = 0 и х = 6).
Кумулята – это линейный график накопленных частот. Для построения кумуляты дополнительно рассчитываются накопленные частоты (SНАК), - они представлены в таблице 5.1, и в прямоугольной системе координат строится их график (рис.5.2).
  |
Рис. 5.2. Кумулята распределения студентов по успеваемости
3. Cтруктурными средними выступают мода и медиана.
Модальное значение признака, т.е. Мо = 4 (балла). Графически – это вершина полигона распределения (рис.5.1).
Медиана равна 3 балла, так как SНАК = 
=15 для признака, равному 3. Графически медиана определяется с помощью кумуляты распределения. Для ее определения сумму ординат (сумму частот) делят пополам, т.е. 
. Через полученную точку проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной распределения (рис. 5.2).
3. Для оценки формы распределения исчислим коэффициент асимметрии и эксцесса: 
; 
(балла); М0=
= 4(балла); 
; 
.
, это свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии распределения студентов по успеваемости (рис. 5.1).
Для проверки статистической гипотезы о существенности асимметрии рассчитываем соотношение 
, исчислив предварительно: 
= 
; 
.
В нашем примере наличие асимметрии несущественно и объясняется влиянием случайных факторов.
Исчислим коэффициент эксцесса: 
; 
=
; 
.
Так как 
, то распределение студентов по успеваемости – низковершинное или плосковершинное по сравнению с нормальным распределением.
5. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному используем критерий Пирсона или 
- критерий. Определим теоретические частоты нормального распределения по формуле: 
; 
; h = 1 (для дискретного ряда); n = ∑ f = 30, тогда 
.
Все промежуточные расчеты представлены в таблице 5.2.
Определяем расчетное значение 
-критерия: 
=2,1146. Полученное значение 
=2,1146 сравнивается с табличным значением 
, которое определяется по заданной вероятности (например, Р = 0,95) и числу степеней свободы (m = k – 3 = 5 - 2) (приложение 4).
Таблица 5.2
Вспомогательные расчеты теоретических частот нормального
закона распределения
| Успеваемость, (x) | Число студентов, (f) | 
|  [2]=
= 
| Теор.частоты, 
| Округл.
теорет.
частоты,
| 
|
| -1,854 | 0,0721 | 1,72 | 2,0 | 0,5 | ||
| -1,058 | 0,2275 | 5,43 | 5,4 | 0,0296 | ||
| -0,262 | 0,3857 | 9,2 | 9,2 | 0,526 | ||
| 0,533 | 0,3467 | 8,26 | 8,3 | 0,059 | ||
| 1,328 | 0,1647 | 3,93 | 4,0 | 1,0 | ||
| Итого | 28,9[3] | 2,1146 |
= 6. Так как 
< 
(2,1146 < 6,0), то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному с вероятностью 0,95 не отвергается. На рис.5.1 построим теоретическую линию нормального закона распределения. Эмпирическое распределение близко нормальному закону распределения, однако оно более плосковершинно, чем нормальное (ЕХ < 0) и с незначительной правовершинной асимметрией (АS < 0), что видно на графическом изображении эмпирического и теоретического распределения.
Пример 2. Известно распределение коммерческих банков области по размеру прибыли.
| Размер прибыли, млн.грн | До 10,0 | 10,0 – 20,0 | 20,0 - 30,0 | 30,0 - 40,0 | 40,0 - 50,0 | Свыше 50,0 | Ито- го |
| Количество банков |
Оцените уровень вариации банков по размеру прибыли, рассчитав абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.
Решение
1. Для определения абсолютных показателей вариации необходимо закрыть открытые интервалы и перейти от интервального ряда к дискретному (табл.5.3. гр. 3)
Таблица 5.3
Вспомогательные расчеты для определения показателей вариации
| Размер прибыли,млн.грн | Количество банков, f | Середина интервала,х | xf | 
| 
| x2 | x 2 f |
| 4 | 7 | 8 | |||||
| до 10,0 | 52,5 | 1378,125 | |||||
| 10,0-20,0 | 10562,5 | ||||||
| 20,0-30,0 | 156,25 | 976,5625 | |||||
| 30,0-40,0 | 168,75 | 632,8125 | |||||
| 40,0-50,0 | 687,5 | 9453,125 | |||||
| Свыше50,0 | 475,0 | 11281,25 | |||||
| Итого | 200,0 | 46687,5 |
Рассчитываем следующие абсолютные показатели вариации: размах вариации (R); среднее линейное отклонение ( 
), дисперсию ( 
) и среднее квадратическое отклонение( 
). 
60 – 0= = 60 (млн. грн.) Размер отклонений величины максимальной прибыли от минимальной по всей совокупности банков составляет 60 млн.грн.
Для расчета 
и 
определим средний размер прибыли по всей совокупности банков.
млн.грн; 
млн.грн.
Индивидуальные размеры прибыли в среднем по всей совокупности банков отклонялись в ту и другую сторону от своего среднего значения на 10,95 млн. грн.
Дисперсию определим двумя способами:
- по формуле среднего квадрата отклонений 
= = 233,44
- по формуле “разности средних”: 
- (31,25) 2 = 1210 – 976,56 = 233,44.
Среднее квадратическое отклонение: 
млн.грн.
Размеры прибыли каждого из 200 банков отклонялись в ту и другую сторону от среднего значения на 15,28 млн. грн.
Определим теперь относительные показатели вариации:
- коэффициент осцилляции: 
;
- относительное линейное отклонение: 
%;
- коэффициент вариации: 
Анализируемый вариационный ряд распределения банков по размеру прибыли является статистически неоднородным, так как коэффициент вариации больше 33%. Об этом свидетельствует другие показатели вариации, например, коэффициент осциляции показывает, что разность между крайними значениями признака почти в 2 раза больше ( 
или 192 %) их среднего значения.
Среднее значение показателя прибыли по данной совокупности банков ( 
тыс.грн) не является надежной или типической ее характеристикой.
Пример 3. Распределение семей по среднедушевым доходам следующее (таблица 5.4). 1. Определите: а) структурные характерис-тики распределения семей по размеру среднедушевого дохода; б) показатели формы и дифференциации распределения. 2. Проверьте статистическую гипотезу о соответствии эмпирического распределе-ния нормальному. 3. Постройте график эмпирического и теоретичес-кого распределения семей по размеру среднедушевого дохода.
Решение
1а. Определяем структурные характеристики ряда распределе-ния, т.е. моду медиану, квартили, децили по рассмотренным выше формулам этих характеристик для интервальных вариационных рядов.
Для выбора соответствующего интервала предварительно опре-делим накопленные частоты 
, (табл. 5.4, гр. 4).
Модальный интервал – это интервал с наибольшей частотой 
, тогда 
грн.
Большинство семей имеют среднедушевые доходы в размере 196,67 грн. Медианным является интервал 
, т.к. для него первая накопленная частота больше половины объема совокупности, т.е. 120>100. Тогда медиана будет равна: 
грн.
Половина семей имеют среднедушевые доходы, не превышаю-щие доходы 202 грн., а у другой половины семей среднедушевые доходы, соответственно, выше 202 грн.
Интервал, в котором будет находиться первый квартиль( 
) рас-пределения, 
, т.к. ему соответствует первая накопленная час-тота 
, большая 
; а интервал, в котором находится третий квартиль( 
), будет 
, т.к. ему соответствует 
> 
.
Тогда соответствующие квартили будут равны:
грн; 
грн.
Среднедушевые доходы, не превышающие 180 грн., получают не менее четверти (25%) из всей совокупности семей, а в размере, не превышающем 230грн., не менее 75% всех семей.
Более детальная характеристика распределения может быть получена на основе децилей распределения. Интервалы соответствующих децилей определяются аналогично по соответствующим накопленным частотам. Например, находим первую 
, - это будет 
; тогда соответствующий ей интервал 
будет тем интервалом, в котором находится первый дециль (d1) – и т.д.
Рассчитаем соответствующие децили:
грн; 
грн;
грн; 
грн;
грн; 
грн;
грн; 
грн;
грн. Первый дециль показывает, что у 10% семей с самым низким среднедушевым доходом самый высокий размер среднедушевого дохода составляет 160 грн., а девятый дециль, - что среди 10% семей с самым высоким уровнем дохода – нижняя его граница составляет 254 грн.
1б. Анализ формы, дифференциации и концентрации распределения проводится с помощью системы специальных коэффициентов, в частности, рассчитываются:
- относительный показатель асимметрии ( 
), показатель эксцесса ( 
), коэффициент децильной дифференциации ( 
), индекс Джинни (КДж).
Дополнительно используется графическое изображение степеней неравномерности распределения вариационного ряда в виде кривой Лоренца.
Относительный показатель асимметрии исчислим как:
; 
грн;
33,3 грн;
.
, т.е. это свидетельствует о наличии правосторонней асим-метрии, при этом она незначительная, т.к. 
. Наиболее точ-ным выступает коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе третьего центрального момента:
; 
;
Для проверки существенности (или несущественности) асимметрии определяется средняя квадратическая погрешность коэффициента асимметрии( 
): 
; 
,т.е.асим-метрия несущественна в данном вариационном ряду. Так как приведенное распределение симметричное, то для таких распределений дополнительно рассчитывается коэффициент эксцесса:
; 
; 
; 
.
Значение 
свидетельствует о том, что распределение низко-вершинное или плосковершинное.
Для проверки гипотезы о статистической существенности эксцес-са рассчитываем среднеквадратическую ошибку эксцесса:
. Если 
, то гипотеза о статистической существенности экс-цесса не отвергается: 
т.е. 6,72 >3. Это подтверждает ги-потезу о статистической значимости (или существенности) эксцесса.
Для оценки степени дифференциации признака в совокупности рассчитаем коэффициент децильной дифференциации:
Это означает, что в 1,6 раза наименьший среднедушевой доход 10% семей, имеющих наибольшие доходы, больше наибольшего сред-недушевого дохода из 10% семей, имеющих самые низкие среднедуше-вые доходы.
Анализ дифференциации (или концентрации) распределения признаков основан на построении кривой Лоренца и расчета индекса дифференциации или коэффициента Джинни.
По данным таблицы 5.4 построим кумулятивные относительные показатели изучаемого признака (среднедушевого дохода) и частот (чис-ла семей), т.е. относительные показатели числа единиц в группах и раз-мерах признака (среднедушевые доходы) выражаются в относительных величинах (в долях или процентах к итогу) и определяются их накоп-ленные значения (табл.5.5, гр.5 и 8). Для построения кривой Лоренца по горизонтальной оси графика откладываются значения графы 5, а по вер-тикальной - значения графы 8, и соединение этих точек образует кривую Лоренца, характеризующую равномерность и степень концентрации распределения рабочих по уровню среднедушевого дохода (рис. 5.3).
| |||
 |
Рис.5.3. Кривая Лоренца
Для количественной оценки меры концентрации рассчитывает-ся коэффициент концентрации Джинни:
= 1 – 2 · 0,538015 + 0,1500335 = 0,074.
Соотношение линий равномерного и фактического распределения (рис.5.3), а также значение коэффициента близкое к 0, свидетельствует о достаточно равномерном распределении семей по среднедушевомудоходу и, соответственно, о незначительной степени концентрации.
2. Проверяем гипотезу о соответствии эмпирического распределения семей по среднедушевому доходу нормальному закону распределения, используя критерий согласия К. Пирсона или χ2 - критерий.
Таблица 5.4
Распределение семей по среднедушевому доходу
| Среднеду-шевые доходы, грн | Число се- мей | Закрытые ин-тервалы сред-недушевых доходов, грн | 
| х | xf | x 2 f | 
|
|
| 
|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| До 150,0 | 130 - 150 | - 64,5 | - 2683361,25 | 173076800,625 | 41602,5 | |||||
| 150,0 -170,0 | 150 - 170 | - 44,5 | -1762422,5 | 78427801,25 | ||||||
| 170,0 -190,0 | 170 - 190 | - 24,5 | - 588245 | 14412002,5 | ||||||
| 190,0 -210,0 | 190 - 210 | - 4,5 | - 4556,25 | 20503,125 | 1012,5 | |||||
| 210,0 -230,0 | 210 - 230 | 15,5 | 111716,25 | 1731601,875 | 7207,5 | |||||
| 230,0 -250,0 | 230 - 250 | 35,5 | 1118471,875 | 33705751,625 | 31506,25 | |||||
| Свыше 250,0 | 250 - 270 | 55,5 | 4273846,975 | 237198501,5625 | 77006,25 | |||||
| Итого | 465450,0 | 544572962,5 |
Таблица 5.5