Тема 1. Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

 

________________________механіко-математичний____________________

Факультет / інститут

кафедра математичного аналізу

Назва кафедри

Укладач(і) : доцент Константінов О.Ю.

вчене звання, прізвище та ініціали

„Спектральна теорія операторів”

назва дисципліни

РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА

для студентів спеціальності 6.080300 «Математика»

 

 

Затверджено

на засіданні кафедри

Протокол № ___

від „___”___________20__р.

Зав. кафедри

_____________ ____________

Підпис Прізвище, ініціали

Декан факультету

_____________ ____________

Прізвище, ініціали

 

Затверджено

на засіданні вченої ради мех..-мат. ф-ту

Протокол № ___

від „___”___________20__р.

 


Робоча навчальна програма з дисципліни „Спектральна теорія операторів”.

Лектор(и):__к.ф.-м.н., доцент Константінов О,Ю.

Науковий ступінь, вчене звання, прізвище та ініціали

 

 

Погоджено

з науково-методичною комісією

«____» ______________ 20__р.

 

___________________________

Підпис голови НМК факультету/ інституту

 

 

 

ВСТУП

 

Дисципліна „спектральна теорія операторів” є дисципліною вільного вибору студентів для сту­дентів спеціальності „математика”. Вона читається в 8 семестрі в обсязі 2 кредитів (за Європейською Кредитно-трансферною Системою ECTS), і розрахована на 38 годин занять. З них 32 години лекцій, та 6 годин самостійної роботи. Семестр закінчується іспитом.

Мета і завдання навчальної дисципліни„спектральна теорія операторів”: оволо­діння теоретичними положеннями спектральної теорії самоспряжених операторів в гільбертовому просторі, знайомство з практичним застосуванням в теорії операторів Шредінгера, сприяння розвитку логічного та аналітичного мислення студентів.

Предмет навчальної дисципліни„спектральна теорія операторів”: самоспряжені оператори, функціональне числення, спектральна теорема, теорія збурень, оператори Шредінгера.

Вимоги до знань та вмінь студентів.

Студент повинен знати: основні властивості функціонального числення самоспряжених операторів та спектральну теорему, властивості збурених операторів, теорему Вейля про збереження істотного спектра, застосування до теорії диференціальних операторів.

Студент повинен вміти: використовувати абстрактну теорію до дослідження самоспряженості та вивчення спектральних властивостей операторів Шредінгера.

Місце в структурно-логічній схемі спеціальності.Спеціальна навчальна дисцип­ліна „ спектральна теорія операторів ” є складовою циклу професійної підготовки фа­хівців освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр” спеціальності „математика”. При вивченні цієї навчальної дисципліни використовуються відомості з нормативного курсу „функціональний аналіз”.

Система контролю знань та умови складання заліку.Навчальна дисципліна „гармонічний аналіз” оцінюється за модульно-рейтинговою системою. Вона складається з 1 модуля.

Результати навчальної діяльності студентів оцінюються за 100 - бальною шка­лою.

Модульний контроль: 1 модульна контрольна робота.

 

Змістовий модуль 1 — 60 балів:

§ активність студента на заняттях, виконання аудиторних завдань — 20 балів;

§ письмова контрольна робота — 40 балів;

Іспит — 40 балів.

Всього за семестр — 100 балів.

 

При цьому, кількість балів відповідає оцінці:

1-34 – «незадовільно» зобов’язковим повторним вивченням дисципліни;

35-59 – «незадовільно» з можливістю повторного складання;

60-64 – «задовільно» («достатньо») ;

65-74 – «задовільно»;

75 - 84 – «добре»;

85 - 89 – «добре» («дуже добре»);

90 - 100 – «відмінно».

Шкала відповідності

За 100-бальною шкалою Оцінка за національною шкалою
90 – 100 відмінно зараховано
85 – 89 добре
75 – 84
65 – 74 задовільно
60 – 64
35 – 59 незадовільно не зараховано
1 – 34

 

НАВЧАЛЬНО-ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН ЛЕКЦІЙ І ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

№ теми Назва теми Кількість годин
лекції лабораторні роботи Самостійна робота Контрольна модульна робота Інші форми контролю
І семестр
Змістовий модуль 1
Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів      
Необмежені оператори      
Теорія збурень      
Оператори Шредінгера      
             
             
             
Модульна контрольна робота 1          
Всього годин за семестр      

Змістовий модуль 1

 

Тема 1. Спектральна теорія обмежених самоспряжених операторів

1. Функціонального числення для поліномів від обмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.

2. Неперервні функції від обмеженого самоспряженого оператора. Означення та основні властивості. — 2 год.

3. Властивості функціонального числення. Теорема про відображення спектра.

— 2 год.

4. Обмежені борельові функції від самоспряжених операторів, означення та основні властивості. — 2 год.

5. Спектральна міра (розклад одиниці) та інтеграл по спектральній мірі. — 2 год.

6. Спектральна теорема для обмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.

 

Тема 2. Необмежені оператори.

 

7. Замкнені оператори, означення, приклади. Оператори, що мають замикання.. — 2 год.

8. Спряжений оператор, основні властивості. — 2 год.

9. Симетричні та самоспряжені оператори. — 2 год.

10. Спектральна теорема для необмеженого самоспряженого оператора. — 2 год.

11. Оператори з простим спектром. Спектральна теорема в термінах оператора множення на незалежну змінну. — 2 год.

 

 

Тема 3. Теорія збурень

12. Збурення самоспряжених операторів. Теорема Като – Рьоліха. — 2 год.

13. Істотний спектр. Теореми Вейля. . — 2 год.