Электрические цепи периодического синусоидального тока и напряжения
Электрический ток и напряжение изменяющиеся во времени по какому-либо закону называют переменными.
Если форма кривой переменного тока и напряжения повторяется через равные промежутки времени, то их называют периодическими.
Наименьшее время, через которое повторяется форма переменного тока и напряжения, называют периодом, обозначают Т и измеряют в с.
Число периодов Тв 1 секунду называют частотой f переменного тока и напряжения и дана размерность герц (Гц).
, Гц
Простейшими периодическими переменными током и напряжением являются вырабатываемые генераторами всех видов электростанций напряжения и тока (энергия) синусоидальной формы.
, А
, B
Здесь обозначают:
i(t), u(t) – мгновенное значение тока и напряжения;
Im, Um – амплитудные значения тока и напряжения;
Yi, Yu – начальная фаза тока и напряжения, герц;
= 2p×f – угловая частота, с-1.
Разницу начальных фаз напряжения и тока обозначили j=Yu–Yi и назвали угол сдвига фаз.
Периодические ток и напряжение характеризуют еще понятиями среднего и действующего значения.
Среднее значение – это среднее значение за период. Так как у синусоидальной функции оно равно нулю ( 
), у синусоидального тока и напряжения за среднее значение определяют значение за полпериода ( 
).
, А
, В
или Iср=0,64 Im, Uср=0,64 Um.
Действующее значение периодической синусоидальной функции – это среднеквадратичное значение за период.
Тогда
, A
, B
Необходимо запомнить – разница между амплитудным и действующим значением периодического синусоидального тока и напряжения – 
.
Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) магнитоэлектрической системы показывают среднее (Iср, Uср) значение синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).
Измерительные приборы (амперметры. вольтметры) электромагнитной, электродинамической, тепловой систем показывают действующее значение (I, U) синусоидального тока и напряжения i(t), u(t).
По действующему значению I периодического синусоидального тока судят о его тепловом воздействии: действующее значение I равно постоянному току I0, который выделяет в активном сопротивлении R за один период Т столько же тепла, что и .
(I2R=I02R).
Мощность в электрических цепях периодического
Синусоидального тока.
Мгновенное значение мощности.
, BA
Здесь обозначили и назвали:
U×I=S – полная мощность, ВА;
U×I×Cos j=P – активная мощность, Вт;
U×I×Sin j=Q – реактивная мощность, ВАР.
Рассмотрим поведение периодических синусоидальных токов и напряжений в отдельных элементах электрических цепей.
Активное сопротивление R.
 |
Um= Im×R; Yu=Yi; j=Yu–YI=0
т.е. в активном сопротивлении угол сдвига фаз j равен нулю, значит напряжение и ток в активном сопротивлении совпадает по фазе (jR=Yu–Yi=0).
Среднее значение за период – активная мощность
Индуктивность L
, 
, 
а величину XL= ×L называют индуктивным сопротивлением и дали размерность Ом, величина обратная XL – индуктивная проводимость 
.
Здесь получили два важных момента:
- индуктивное сопротивление XL= ×L=2p×f×L, Ом;
- на идеальной индуктивности L угол сдвига фаз 
, т.е. напряжение UL(t) опережает ток в индуктивности на 90°.
.
Видно, что активная мощность pL=0, a QL= U×I = I2×XL
Емкость C
, bc – емкостная проводимость;
– емкостное сопротивление, размерность – Ом.
.
Получили две важных момента:
- емкостное сопротивление и проводимость
, 
- на идеальной емкости С угол сдвига фаз 
, т.е. напряжение отстает от тока на угол 90°.
Как и на индуктивности, на емкости активная мощность PС=0, а реактивная QС= U×I = I2×XС
Если токи и напряжения на R, L и С изобразить в виде векторов, то можно видеть:
jR = 0
jL = +90°
jС = –90°
Наша задача – рассчитать электрическую цепь, т.е. определить токи в ветвях и напряжения между узлами и на элементах, при действии периодических синусоидальных токов и напряжений.
Рассмотрим простейшую цепь – последовательное соединение элементов R, L, C.
Допустим, что , т.е. 
. Тогда по второму закону Кирхгофа:
где величину XL–XC=X назвали реактивным сопротивлением.
(Видно, что X имеет знак ± , в зависимости что больше XL или XC).
Используя тригонометрию, можно видеть:
;
,
где 
, назвали – полное сопротивление
Если изобразить расчет напряжения в цепи в виде векторов, то получим:
– цепь имеет индуктивный характер.
– цепь имеет емкостной характер.
Разделив все напряжения на ток, можно получить треугольник сопротивлений.
; 
.
Рассмотрим еще одну простую цепь – из параллельного соединения R, L, C.
Допустим
,
.
По 1-му закону Кирхгофа:
где
– активная проводимость;
– индуктивная проводимость;
– емкостная проводимость;
– реактивная проводимость.
( b, как и Х имеет знак ± в зависимости, что больше bL или bC).
Если изобразить расчет тока в цепи в виде векторов, то получи:
Разделив токи на напряжения, получим треугольник проводимостей.
; 
Данный способ расчетов электрических цепей при периодических синусоидальных токах и напряжениях, когда приходится все время оперировать синусоидальными (косинусоидальными) функциями и понятиями полных сопротивлений и проводимостей и использовать при расчете векторные диаграммы по 1 и 2 законам Кирхгофа получил название графо-аналитического метода.
Большого применения, особенно при сложных цепях, этот метод не получил, ввиду большой сложности, особенно при ручном расчете.
РЕАКТИВНЫЕ ДВУХПОЛЮСНИКИ.
Наиболее простой электрической цепью является двухполюсник – любой сложности схема, имеющая два зажима (входной, выходной).
Двухполюсники могут быть различными:
- линейные, нелинейные;
- активные, пассивные;
- реактивные, с потерями и т.п. (зависит от характеристик элементов в схеме).
Мы рассмотри линейные, пассивные, чисто реактивные (имеются катушки Li и емкости Ci) двухполюсники.
В виду того, что соотношения между мгновенными токами i(f) и напряжениями U(f) описываются интегрально-дифференциальными выражениями по 1 и 2 законам Кирхгофа, воспользуемся их изображениями по преобразованию Лапласа или их аналогами для частных случаев.
комплексная частота;
операторное индуктивное сопротивление;
операторное емкостное сопротивление;
операторное реактивное сопротивление и проводимость.
При гармоническом (синусоидальном, периодическом) воздействии 
.
Зависимости от частоты.
Z(w), Y(w) – амплитудочастотная характеристика;
j(w) – фазочастотная характеристика.
Рассмотрим несколько простейших схем реактивных двухполюсников:
Сделав анализ рассмотренных схем, можно видеть:
- число резонансов на единицу меньше числа элементов;
- АЧХ определяется чередованием нулей (резонанс токов) и полюсов (резонанс токов); если в схеме есть путь для постоянного тока, то первым конкретным резонансом будет резонанс токов;
- крутизна АЧХ Z(ш), Y(ш) всегда положительна или 
(теорема Фостера);
- 
- всегда отношение двух полиномов ω, степени которых отличаются на 1;
- у некоторых схем АЧХ выглядят одинаково (Z3 и Z5), (Z4 и Z6), у некоторых обратно (Z3 и Z6, Z5 и Z6).
Два двухполюсника называются обратными, если произведение их сопротивлений величина вещественная и положительная, а амплитудо-частотные характеристики выглядят взаимообратно (меняются местами нули и полюса).
В схемах обратных двухполюсников элементы дуальны (L↔C) и изменяется вид соединений (последовательное ↔ параллельное).
Два двухполюсника называются эквивалентными, если при разных схемах и выражениях 
они имеют одинакового вида АЧХ. В схемах эквивалентных двухполюсников элементы имеют разные величины, но меняется вид соединений (последовательное↔параллельное).
Канонические схемы двухполюсников.
Канонической называют схему, которая при правильном задании дает возможность выполнить это задание.
Если обобщить выражения входных сопротивлений простейших схем 
, то в общем случае выражение входного сопротивления двухполюсника будет иметь вид (в операторной форме):
При 
: 
Так как степени n и m или равны или отличаются не более чем на 1, а всегда нечетная функция ω, может быть только четыре вида , которые назвали классами.
H, a, b – вещественные величины, зависящие от параметров элементов схемы.
I класс.
Степени числителя и знаменателя 
одинаковы (n=m).
II класс.
Степени числителя и знаменателя одинаковы (n=m).
III класс.
Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (m=n+1).
IV класс.
Степени числителя и знаменателя отличаются на 1 (n=m+1)
Частотные характеристики сопротивлений двухполюсников можно изобразить с помощью нулей (0) и полюсов (x).
Выражениям входного сопротивления (Z1, Z2, Z3, Z4 (jω)) и входной проводимости (Y1, Y2, Y3, Y4 (jω)) соответствуют определенные схемы реактивных двухполюсников, которые получили название канонических схем.
Возможны два варианта нахождения схем. Первый вариант основан на нахождении корней числителя и знаменателя и представлении выражений Z(jω) или Y(jω) в виде (на примере Z4(jω), Y4(jω)):
Таким же образом можно рассмотреть проводимости. В результате такого представления и анализа выражений Z(jω) и Y(jω) получаем, что каждому классу соответствуют две схемы (схемы Фостера):
1)
2)
3)
4)
В то же время для схем двухполюсников вида
Входное сопротивление и проводимость можно представить в виде цепочечной дроби (схемы получили название цепных или лестничных).
Если канонические выражения входных сопротивлений (Z1, Z2, Z3, Z4 (jω)) и проводимостей (Y1, Y2, Y3, Y4 (jω)) представить в виде цепочечной дроби можно получить еще по два варианта канонических схем каждого класса (схемы Кауэра):
1)
2)
3)
4)
Каждая из четырех схем соответствующего класса имеет уже показанную выше амплитудо-частотную характеристику (т.е. в каждом классе схем – 4, АЧХ – 1).