Режимы резонанса в электрических цепях

Как и в физике, режим резонанса в электрической цепи наступает при совпадении частот колебаний – частоты внешнего воздействия и частоты собственных колебаний устройства (в данном случае электрической цепи). Но в электротехнике есть свои особенности.

В электрической цепи должны быть емкости (конденсаторы) C и индуктивные катушки L.

Резонанс в электрической цепи имеет место, если входное сопротивление цепи , т.е. если входное сопротивление носит активный характер, а это значит, что на резонансной частоте на входе в схему ток и напряжение совпадает по фазе.

Кроме того, в момент резонанса входное сопротивление может быть равно нулю (это идеальный случай) или минимальное, а может быть равно бесконечности (опять идеальный случай) или очень большое, максимальное. Эти два случая разделили:

- резонанс напряжений,

- резонанс токов.

Почему так назвали, увидим из рассмотрения конкретных схем.

 

Резонанс напряжений.

 

Этот вид резонанса бывает в цепях, где имеется последовательное соединение индуктивности L и емкости C.

Комплексное сопротивление данной схемы

Известно, что и зависят от частоты, значит на какой-то частоте, назовем ее резонансной f0, эти сопротивления будут равны, а входное сопротивление контура будет равно R.

Эту частоту легко определить

На частоте f0 X=XL-XC=0.

Рассмотрим, что происходит в этот момент в схеме. Допустим, что U(t)=Umsinw0t, тогда ток

Так как на f0 XL=XC получаем

Что же происходит в нашем контуре на резонансной частоте f0?

Известно, что энергия в катушке равна энергия в конденсаторе

При резонансе XL=XC, значит WLm=WCm. Значит вся энергия источника расходуется в активном сопротивлении, а в идеале, когда R=0 и контур отключить от источника и замкнуть, происходит обмен энергией между катушкой и конденсатором бесконечно долго. Но как только появилось активное сопротивление (а у катушки оно всегда есть). За счет потерь Джоуля – Ленца (I2R) происходит уменьшение энергии, причем чем меньше R, тем дольше идет процесс. Поэтому в резонансном контуре ввели понятие добротности Q.

Добротность представляет собой отношение максимальной энергии WLm=WCm к потерям в контуре P=I2R.

Вес контура условно разделили на высокодобротные Q³10 или XL0=XC0³R×10 и низкодобротные Q<10.

Кроме этого, на резонансной частоте fp имеем XL=XC,

Видно, что в высокодобротных контурах, напряжение на катушке и емкости в величину добротности превышает входное напряжение. Поэтому резонанс при последовательном соединении L и C назвали резонансом напряжений, и этот контур часто используется как усилитель напряжения.

Рассмотрим поведение различных параметров контура в зависимости от частоты. Зависимость от частоты тока, напряжения, сопротивлений называется амплитудо-частотными характеристиками (АЧХ), зависимость фазы, угол сдвига фаз от частоты называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).

 

Максимум UC и UL наступают при

 

 

где (величина, обратная добротности).

Векторные диаграммы при

 

 

 

 

При рассмотрении резонансов используется понятие полоса пропускания-это полоса частот, на границах которых мощность, поглощаемая контуром, в два раза меньше мощности, поглощаемой контуром, на резонансной частоте.

На частотах, граничных полосе пропускания, ток или напряжения изменяются в раз, а .

Очень часто интересно поведение различных параметров контура в узкой полосе частот вблизи резонансной частоты.

Имеем –

резонансная частота -

абсолютная расстройка -

относительная расстройка -

обобщенная расстройка (кси) –

(при этом все расстройки положительны, при f>f0, отрицательны при f < f0, при очень малых расстройках ( ), ).

Теперь можно построить характеристики I, Z, j в зависимости от .

При этом можно видеть, что зависимости от относительной расстройки различаются по величине добротности Q, а зависимости от обобщенной расстройки одинаковы для всех контуров.

 

Чем больше добротность, тем острее кривая и уже полоса пропускания.

Для полосы пропускания можно видеть:

- абсолютная полоса пропускания,

- относительная полоса пропускания.

На границах полосы пропускания .

Как отмечалось, контур резонанса напряжений часто используется как усилитель напряжения.

Повышенное напряжение чаще снимается с емкости.

Заменив параллельное соединение C и RН последовательным, получим схему:

где . (для высокодобротных контуров R1<<XL=XC; RН>>XC).

При этом добротность контура с RН несколько меньше добротности контура.

Выводы по резонансу напряжений:

- этот вид резонанса имеет место при последовательном соединении R, L, C; резонансная частота , условие резонанса XL=XC;

- напряжения на L и C примерно равны UL=UC=QU и зависят от величины добротности контура Q=XL/R, при Q³10 имеем хорошие резонансные кривые и узкую полосу пропускания.

 

Резонанс токов.

Этот вид резонанса бывает в электрических цепях, где есть параллельное соединение индуктивности L и емкости C.

Схема а) – идеальная, остальные наиболее распространены, рассмотрим схему г).

Как известно, при резонансе входное сопротивление схемы носит активный характер и угол сдвига фаз равен нулю

Найдем входное сопротивление нашей схемы.

 

где

Легче найти Zвх через проводимость.

где

 

 

Условие резонанса в цепи

При R1‹‹XL, R2‹‹XC (высокодобротный контур)

Если φ=0, то b=0.

или

при R1‹‹XL, R2‹‹XC

Из условия b=0 найдем резонансную частоту

Анализируя выражение ωp, можно видеть:

- в высокодобротных контурах (R1‹‹XL, R2‹‹XC) ωp=ω0 (частота резонансов токов совпадает с частотой резонанса напряжений);

- в низкодобротных контурах (R1≥XL, R2≥XC) резонанс токов наступает при ωp или его нет.

Далее рассматриваем высокодобротные контура. На резонансной частоте ωp=ω0 имеем:

Видно, что на резонансной частоте проводимость g0 очень мала, а резонансное входное сопротивление контура Rp очень велико (в идеальном случае Rp=¥).

Как и в контуре резонанса напряжений, в данном контуре происходят колебания энергии между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, в идеальном контуре, при отключении его от источника, эти колебания будут происходить бесконечно, реально они затухают, но тем медленнее, чем выше добротность контура.

В момент резонанса на wp=w0 имеем

Векторная диаграмма будет:

В идеальном контуре

В реальном высокодобротном контуре мало, , поэтому этот вид резонанса и назвали резонансом токов.

Часто данный контур питают от источника тока, напряжение на контуре, в этом случае, может быть большим.

Видно, что в высокодобротном контуре (R1<<XL, R2<<XC) Uаб, IL и IC – большие величины, jL и jC – близки к ±90°.

Рассмотрим поведение параметров контура резонанса токов при расстройках

 

Векторные диаграммы при расстройках

Полоса пропускания контура с резонансом токов – полоса частот, на границах которой ток I увеличивается, а напряжение уменьшается в раз.

Часто контур резонанса токов применяется с шунтирующим сопротивлением

Видим, что в этом случае, чем больше Rш, тем больше Qэ (ближе к Q), т.е. нужен источник тока с малой внутренней проводимостью (большим внутренним сопротивлением).

Выводы по резонансу токов:

- этот вид резонанса имеет место при параллельном соединении L и C; в высокодобротном контуре ; условие резонанса в=0;

- в высокодобротном контуре тока в ветвях в величину добротности превышают ток в неразветвленной части схемы;

- низкоомные сопротивления ветвей контура (R1+R2=R) преобразуются в высокоомное входное сопротивление контура , при помощи Rш его можно регулировать.

 

Индуктивно связанные электрические цепи