Метод эквивалентного генератора
В некоторых случаях при расчете электрической цепи нас интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы. Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного генератора.
Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора, докажем теорему о компенсации.
Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно заменить активным элементом, величина ЭДС которого равна падению напряжения на пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем.
Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для пимера схемы (рис. 3.9, а,б).
Заменим пассивный элемент R1 источником ЭДС Е1.
Для схемы а запишем уравнение по второму закону Кирхгофа
.
Отсюда выразим ток в виде
.
Для схемы б второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме:
.
Ток выразим в виде
.
При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если 
, что и требовалось доказать.
В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10).
Например, выделим ветвь с сопротивлением R5, а всю остальную часть заключим в прямоугольник.
Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя выводами подключается к выделенной ветви, называют двухполюсником.
 |
Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).
 |
Если внутренняя схема двухполюсника содержит только пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит активные элементы, то есть источники ЭДС или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится буква А.
Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12).
Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно определить, используя формулу
.
Таким образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением Rэк. Для того чтобы токораспределение во внешней цепи не изменилось, должны соблюдаться следующие требования:
1) ЭДС эквивалентного генератора Еэк равна напряжению на зажимах ab двухполюсника при холостом ходе Еэк= Uabxx;
2) внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэк равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab.
Таким образом, расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров эквивалентного генератора Еэк и Rэк.
Параметры эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным и расчетным.
Экспериментальный способ – это единственный путь определения параметров эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть его сводится к следующему.
1. При разомкнутых зажимах ab, то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I = 0), измеряют напряжение на зажимах ab Uаbхх. Согласно требованию 1 Uаbхх = Еэк.
2. При замкнутых зажимах ab, то есть в режиме короткого замыкания (R = 0), измеряют ток в выделенной ветви Iкз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его можно считать замыкающим проводником).
Ток короткого замыкания связан с ЭДС источника соотношением
,
отсюда
.
Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере (рис. 3.13).
 |
Выделяем нагрузочную ветвь с сопротивлением Rн, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab.
Мысленно закоротив источник ЭДС, находим эквивалентное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:
 |
3. Определим ЭДС эквивалентного генератора Еэк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14).
Так как ветвь с сопротивлением R4 разомкнута, ток будет протекать только по контуру R1→ R3 → R2, то есть
.
Напряжение на зажимах ab будет равно напряжению на зажимах cb:
Зная Rэк и Еэк, находим ток в нагрузке
Нагрузка эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность, определяемую выражением
.
В режиме холостого хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность так же не потребляется Р = 0. Таким образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а потом спадает до нуля (рис. 3.15).
Найдем условие, при котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность.
Мощность в нагрузке согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением
.
Ток в нагрузке
Подставим выражение для тока в формулу мощности:
.
Исследуем это выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее первой производной.
.
Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:
.
Преобразуем это выражение следующим образом:
.
Отсюда получаем 
.
Взяв вторую производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного генератора. Такое сопротивление нагрузки Rc называется согласованным.
Максимальную мощность можно определить по формуле
.
На рис. 3.15 показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления нагрузки от нуля до бесконечности.
 |
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение простых и сложных цепей.
2. Опишите порядок расчета простых цепей методом эквивалентных преобразований.
3. Опишите порядок расчета простых цепей методом пропорциональных величин.
4. В чем состоит метод расчета сложных электрических цепей, основанный на прямом использовании законов Киргофа?
5. Назовите достоинства и недостатки этого метода.
6. В чем состоит метод контурных токов?
7. Как определить собственные и взаимные сопротивления?
8. Поясните правило знаков при определении истинных токов по известным контурным токам.
9. Назовите достоинства и недостатки метода контурных токов.
10. В чем состоит метод узловых потенциалов?
11. Назовите достоинства и недостатки этого метода.
12. В каком случае применим метод двух узлов?
13. Что позволяет определить этот метод?
14. В чем состоит метод наложения?
15. Как при расчетах электрической цепи методом наложения определить истинные токи в ветвях?
16. Сформулируйте теорему о компенсации.
17. Что называют двухполюсником?
18. Какие существуют способы определения параметров эквивалентного генератора?
19. Поясните, при каком условии в двухполюснике выделится максимальная мощность?
20. Какую нагрузку называют согласованной?