Представление векторов комплексными числами

Метод векторных диаграмм позволяет легко и быстро складывать токи и напряжения, выраженные синусоидальными функциями, но точность этого метода, как и любого графического, невелика. Кроме того, метод векторных диаграмм не позволяет выполнять операции умножения и деления. Поэтому наибольшее распространение в теории цепей получил метод, основанный на теории комплексных чисел.

Рассмотрим комплексную плоскость (рис. 4.10).

Положительную часть действительной оси обозначим +1, мнимой оси +j. В математике мнимую единицу обозначают i, в теории электрических цепей j, чтобы не путать с обозначением мгновенного значения тока (i).

Возьмем на комплексной плоскости точку с координатами а и b. Каждой точке комплексной плоскости можно поставить в соответствие вектор длиной А, расположенный под углом ψ к действительной оси. Поскольку любую синусоидальную величину можно представить вектором длиной А с углом наклона ψ, то этой синусоидальной величине можно поставить в соответствие точку на комплексной плоскости.

Комплексное число можно представить в трех формах записи.

1. Алгебраическая форма позволяет выразить комплексное число через координаты точки.

.

2. Тригонометрическая форма. Из треугольника 0Аа видно, что , а , тогда комплексное число можно записать в виде

.

3. Показательная форма. Воспользуемся формулой Эйлера, связывающей тригонометрические функции с показательными:

,

тогда комплексное число можно записать в виде

.

А – модуль комплексного числа, который характеризует длину вектора;

ψ – аргумент комплексного числа, который характеризует угол поворота вектора относительно действительной оси.

Комплексные числа можно складывать, вычитать, делить и умножать. Как правило, сложение и вычитание производятся в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной. Переход от одной формы к другой осуществляется по следующим правилам.

Если известны координаты точки , то модуль комплексного числа А можно найти по теореме Пифагора:

.

Аргумент находим из треугольника 0Аа:

.

Поскольку угол ψ может принимать значения от 0 до 360о, то при его определении следует учитывать знаки действительной и мнимой частей:

при ;

при ;

при ;

при .

Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму, то есть выражаем экспоненту по формуле Эйлера и находим , а .

При расчете комплексных чисел следует помнить следующие правила:

; ; .

Это следует из выражения

, так как , то .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы, называются комплексно- сопряженными.

Если комплексное число , то сопряженное ему число записывается в виде .

В алгебраической форме записи , сопряженное .

Произведение комплексного и сопряженного чисел равно квадрату модуля комплексного числа:

.