ЗАВДАННЯ №7 ТЕМА: ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ, ФОРМУЛА БЕЙЕСА
7.1 Для участі в студентських відбіркових змаганнях виділені з першої групи курсу - 4, з другої - 6, з третьої групи - 5 студентів. Ймовірність того, що студент першої, другої і третьої групи потрапить в збірну інституту, відповідно дорівнює 0,9; 0,7 і 0,8. Навмання вибраний студент у результаті змагання потрапив в збірну. До якої з груп найімовірніше належить цей студент?
7.2 У портфелі цінних паперів міститься 12 акцій, випущених на підприємстві №1, 20 акцій - на підприємстві №2 і 18 акцій - на підприємстві №3. Ймовірність того, що по акціях, випущених підприємством №1, своєчасно виплачуються дивіденди, дорівнює 0,9; для акцій, випущених на підприємствах №2 і №3, ця ймовірність відповідно дорівнює 0,6 і 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання акція виявиться акцією, по якій своєчасно виплачуються дивіденди, (проста акція - акція, по якій можуть не виплачуватися дивіденди; привілейована акція - акція, по якій обов'язкововиплачуються дивіденди).
7.3 У банк поступило 10 заяв з проханням про видачу кредиту від 10 підприємств, при цьому до чотирьох із заяв прикладений кошторис використовування засобів. Ймовірність того, що підприємство одержить кредит, надавши і заяву і кошторис, рівна 0,95; для підприємства, що надало тільки заява, ця ймовірність рівна 0,8. Одне з підприємств одержало кредит. Що вірогідніше: це було підприємство, що надало і заяву, і кошторис, або підприємство, що надало тільки заява?
7.4 Досліджується група підприємств, що терплять збитки. Нестійке фінансове положення в середньому 50% підприємств було викликано низькою рентабельністю, 30% підприємств - низкою фондоотдачей і 20% підприємств - низькою продуктивністю праці. Ймовірність підвищення фінансової стійкості підприємств при підвищенні рентабельності рівна 0,7; при підвищенні фондовіддачі і продуктивності праці ця ймовірність відповідно рівна 0,8 і 0,9. Підприємство, якому були надані відповідні допомоги, підвищило свій рівень фінансової стійкості. Знайти ймовірність того, що це було підприємство з низьким рівнем рентабельності.
7.5 У першому портфелі цінних паперів міститься 10 акцій, з них 8 привілейованих, в другому - 20 акцій, з них 4 привілейованих. З кожного портфеля навмання витягується по одній акції, а потім з цих двох акцій навмання узята одна, знайти ймовірність того, що була узята привілейована акція.
7.6 Дві з трьох незалежно працюючих страхових компаній збанкрутіли. Знайти ймовірність того, що розорилися перша і друга компанії, якщо ймовірність банкрутства першої, другої і третьої страхових компаній відповідно рівна 0,2; 0,4 і 0,3.
7.7 У кожному з трьох портфелів цінних паперів знаходиться 6 акцій і 4 облігації. З першого портфеля навмання витягнули один цінний папір і переклали в інший портфель, після чого з другого портфеля навмання витягнули один цінний папір і переклали в третій портфель. Знайти ймовірність того, що цінний папір, навмання витягнутий з третього портфеля, виявиться облігацією.
7.8 Три бізнесмени подали в банк заяву про видачу кредиту, причому 2 з них кредит одержали. Знайти ймовірність того, що третій бізнесмен одержав кредит, якщо ймовірність отримання кредиту першим, другим і третім бізнесменами відповідно рівні 0,6; 0,5 і 0,4.
7.9 У банк поступило 3 заяви з проханням про видачу кредиту, причому задоволено було 2 з них. Знайти ймовірність того, що був виданий кредит за першою заявою, якщо ймовірність отримання кредиту за першою, другою і третьою заявою відповідно рівна 0,4; 0,3 і 0.5.
7.10Є 3 портфелі цінних паперів по 20 цінних паперів в кожному. Число векселів в першому, другому і третьому портфелях відповідно рівне 20, 15, 10. З навмання вибраного портфеля навмання витягнутий цінний папір, що виявився векселем. Цінний папір повертають в портфель і повторно із того ж портфеля витягують цінний папір, який також виявляється векселем. Знайти ймовірність того, що цінні папери були витягнуті з третього портфеля.
7.11У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля; кулі добре перемішані. Навмання витягується одна куля. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад куль за кольором.
7.12У ящику міститься 12 деталей, виготовлених на заводі № 1; 20 деталей на заводі №2 і 18 деталей на заводі №3. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на заводі №1, відмінної якості, дорівнює 0,9; на заводі №2, відмінної якості, дорівнює 0,6; на заводі №3, відмінної якості 0,9. Знайти ймовірність того, що витягнута навмання деталь виявиться відмінної якості.
7.13У кожній з трьох урн міститься 6 чорних і 4 білі кулі. З першої урни витягнута одна куля і перекладена в другу урну; кулі добре перемішані. З другої урни навмання витягнута куля і перекладений і третю урну. Знайти ймовірність того, що куля, навмання витягнута з третьої урни, виявиться білою.
7.14З 10 гвинтівок 4 забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець уразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, рівна 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність рівна 0,8. Стрілець вражає мішень з навмання узятої гвинтівки. Що вірогідніше: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом або без нього?
7.15Число вантажних машин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе як 3:2. Ймовірність того, що заправлятиметься вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під'їжджає для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.
7.16Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, рана 0,55; до другого - 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде визнаний стандартним першим товарознавцем, рівна 0,9, а другим - 0,98. Стандартний виріб при перевірці був визнаний стандартним. Знайти ймовірність того, що цей виріб перевірив другий товарознавець.
7.17У спеціалізовану лікарню поступають в середньому 50% хворих із захворюванням К; 30% - із захворюванням Л і 20% хворих із захворюванням М. Ймовірність повного вилікування хвороби К дорівнює 0,7; для хвороб Л і М ймовірністі рівні 0,8 і 0,9. Хворий, поступив в лікарню, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав на захворювання К.
7.18Є три партії деталей по 20 деталей в кожній. Число стандартних деталей в першій, другій і третій партіях відповідно рівні 20; 15; 10. З навмання вибраної партії навмання витягнута деталь, що виявилася стандартною. Деталь повертають в партію і повторно з тієї ж партії навмання витягують деталь, яка теж виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі були витягнуті з третьої партії.
7.19Батарея з трьох гармат зробила залп, причому два снаряди потрапили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата дала влучення, якщо ймовірність влучення в ціль першою, другою і третьою гарматою дорівнює 0,4; 0,3; 0,5.
7.20У портфель цінних паперів, що містить 2 цінні папери, покладена акція. Інспектор навмання витягує 1 цінний папір. Знайти ймовірність того, що витягнутий цінний папір виявиться акцією, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад цінних паперів.
7.21Число нерентабельних підприємств, що звернулися в банк за кредитом, відноситься до числа рентабельних підприємств, що звернулися в той же банк, як 3:2. Ймовірність того, що нерентабельне підприємство одержить кредит, дорівнює 0,1; для рентабельного підприємства ця ймовірність дорівнює 0,2. У банк для отримання кредиту звертається підприємство. Знайти ймовірність того, що це нерентабельне підприємство.
7.22Податкові розрахунки перевіряються на правильність одним з двох податкових інспекторів. Ймовірність того, що розрахунки потраплять до першого інспектора, дорівнює 0,55; до другого - 0,45. Ймовірність того, що податкові розрахунки будуть визнані правильними першим податковим інспектором, дорівнює 0,9, а другим - 0.91. Правильні розрахунки при перевірці були визнані правильними. Знайти ймовірність того, що розрахунки перевірив другий інспектор.
7.23У кожному з трьох портфелів цінних паперів міститься 6 акцій і 4 облігації. З першого портфеля цінних паперів витягнуто 1 цінний папір і перекладено в другий портфель. З другого портфеля навмання витягнутий цінний папір і перекладений в третій портфель. Знайти ймовірність того, що цінний папір, витягнутий навмання з третього портфеля цінних паперів, виявиться акцією.
7.24У першому портфелі цінних паперів міститься 10 векселів, з них 8 перевідних; у другому - 20 векселів, з них 4 перевідних. З кожного портфеля навмання витягується по одному векселю, а потім з цих двох векселів навмання узятий один. Знайти ймовірність того, що був узятий перевідний вексель.
7.25У першому портфелі цінних паперів міститься 10 облігацій, з них 8 продовжуваних, в другому 20 облігацій, з них 4 продовжуваних. З кожного портфеля навмання витягується по одній облігації, а потім з цих двох облігацій навмання узята одна. Знайти ймовірність того, що була узята продовжувана облігація.
7.26Троє потерпілих подали в страхову компанію заяву про виплату страхового відшкодування, причому 2 з них відшкодування одержали. Знайти ймовірність того, що третій потерпілий одержить страхове відшкодування, якщо ймовірність отримання відшкодування за першою, другою і третьою заявою відповідно дорівнює 0,6 ; 0,5 і 0,4.
7.27У урну, що містить 5 куль, опущена біла куля, після чого навмання витягнута одна куля. Знайти ймовірність того, що витягнута куля виявиться білою, якщо рівноможливі всі можливі припущення про первинний склад куль за кольором.
7.28У обчислювальній лабораторії є шість клавішних автоматів і чотири напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання деякого розрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент виконує розрахунок на навмання вибраній машині. Знайти ймовірність того, що до закінчення розрахунку машина не вийде з ладу.
7.29У піраміді п'ять гвинтівок, три з яких забезпечені оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець уразить мішень при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність рівна 0,7. Знайти ймовірність того, що мішень буде уражена, якщо стрілець зробить один постріл з навмання узятої гвинтівки.
7.3030 Ймовірність того, що під час роботи цифрової електронної машини відбудеться збій в арифметичному пристрої, в оперативній пам'яті, в решті пристроїв, відносяться як 3:2:5. Ймовірності виявлення збоїв в арифметичному пристрої, в оперативній пам'яті і в решті пристроїв відповідно дорівнює 0,8; 0,9; 0,9. Знайти ймовірність того, що виниклий в машині збій буде знайдений.