Показатели асимметрии и эксцесса

Симметричные ряды встречаются крайне редко . Для характеристики асимметрии используют несколько показателей:

1. Самый простой: А_s= А_s>0 вытянут вправо (правосторонняя асимметрия)

А_s<0 вытянут влево (левосторонняя асимметрия)

2. Для сравнения асимметрии в нескольких рядах используется показатель относительный

А_s =( )/σ

3. Наиболее часто используют центральный момент третьего порядка

μ>0 правосторонняя асимметрия

μ<0 левосторонняя асимметрия

Показатель эксцесса характеризует крутость распределения. При одной и той же средней арифметической ряд может быть островершинным и низковершинным.

Если >0 – островершинный

<0 – низковершинный

Пример. Расчет асимметрии.

Группы фирм по стоимости основных фондов, млн.р.	Количество фирм	Середина интервала
0,5-1,0		0,75
1,0-1,5		1,25
1,5-2,0		1,75
2,0-2,5		2,25

Итого 105

Показатель асимметрии

Основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разница между или , тем больше асимметрия ряда. При этом, если ( )>0, асимметрия правосторонняя.

правосторонняя левосторонняя

М₀<М_е< М_о>М_е>

Если ( )<0 – асимметрия левосторонняя.

Для сравнительного анализа степени асимметрии нескольких распределений рассчитывают относительный показатель:

или

Величина А_S может быть положительна и отрицательна. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии, при этом существует следующее соотношение между показателями: М₀<М_е<

Отрицательный знак показателя асимметрии свидетельствует о левосторонней асимметрии: М₀>М_е> .

2 1 3

1- нормальное распределение

2 – левосторонняя асимметрия

3 – правосторонняя асимметрия

Другой показатель, предложенный Линдбергом, рассчитывают по формуле

A_S=n – 50

где n - % тех значений признака, которые превосходят по величине средн. арифметич.

Наиболее общим является распределение, известное как нормальное, которое может быть представлено графически в виде симметричной колокообразной кривой. Но это бывает крайне редко.

Куполообразная форма кривой показывает, что большинство значений концентрируются вокруг центра измерения.

Закон нормального распределенияпредполагает, что отклонение от среднего значения является результатом большого количества мелких отклонений, что позитивные и негативные отклонения равновероятны и что наиболее вероятным значением всех в равной мере надежных измерений является их арифметическая средняя.

Кривая распределения, выражающая общую закономерность данного типа распределения, называется теоретической кривой распределения.

Фактическое распределение отличается от теоретического в силу влияния случайных факторов. Их влияние сглаживается с увеличением V исследуемой совокупности. Большое значение имеет сопоставление фактических кривых распределения с теоретическими.

Уравнение нормальной кривой выражено посредством и стандартного отклонения L.

В действительностикривая может иметь вытянутую форму (там, где вокруг средней арифметической концентрируется огромное большинство зарегистрированных значений) и приплюснутую форму (когда отклонения от средней относительно велики).

Необходимо запомнить

В этих пределах заключено

около 68% общей площади

кривой

L L

2. 68% общего числа частот

2L 2L

99,73% общего числа частот

3L 3L

99,994% всей площади

4L 4L

Пример. нормального распределения = 1200, L = 2, то известно, что не менее 68% всех наблюдений лежат между значениями 98 и 102 и что почти все наблюдения 99,73% от 94 до 106.

Показатель эксцесса

Для симметричного распределения рассчитывается показатель эксцесса (островершинности).

Эксцесс – выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Линдберг предложил следующий показатель

Е_х= n – 38,9, где n – доля (%) количества вариантов, лежащих в интервале, = ½Б в ту или другую сторону от .

Наиболее точным является показатель, использующий центральный момент четвертого порядка

В кривой нормального распределения

Если Е_Х>0, то эксцесс считают положительным (распределение островершинное).

Если Е_Х<0, то эксцесс отрицательный (распределение низковершинное).

Пример.

Итоги сдачи экзамена по математике студентов 1 курса.

Получаемые оценки и баллы	Кол-во студентов, получивших данную оценку
х	f	xf	\|x- \|	\|x- \|f	(x- )²	(x- )²f
			1,6	6,4	2,56	10,24
			0,6	4,8	0,36	2,88
			0,4	2,8	0,16	1,12
			1,4	8,4	1,96	11,76
Итого:			4,0	22,4	5,04	26,00

1. =90/25=3,6

2. L=22,4/25=0,9

3. σ²=26/25=1,04

4. σ=

5. Показатель асимметрии А₃= -М₀=3,6-3=0,6, следовательно, график будет вытянут вправо.

6. Показатель эксцесса

σ⁴=1,04²=1,08

Е_х=2/1,08-3=-1,15 Распределение низковершинное.