Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

⇐ Назад

1. Однородное уравнение первого порядка: определение и метод его решения

Определение 1.Уравнение первого порядка вида называется однородным, если его правая часть является однородной функцией нулевого измерения, т.е. при любом справедливо равенство: .

Замечание 1. Уравнение является однородным, так как функция удовлетворяет определению однородности нулевого измерения.

Определение 2.Уравнение вида

называется однородным, если однородные функции одного измерения однородности, т.е. и

Метод решения однородного уравнения

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены функции y(x) по формуле:

где новая функция, относительно которой и получится уравнение с разделяющимися переменными.

Решение однородного уравнения в общем виде

замена:

После замены получается уравнение:

Разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство:

Выполнив обратную замену:

получим общий интеграл данного уравнения:

Далее необходимо проверить, не потеряны ли решения. Если уравнение имеет решения , то решения уравнения ,хотя при данное уравнение принимает вид: уравнение c разделяющимися переменными, решение которого не составит большого труда.

Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

1) Уравнение приводится к однородному.

Для этого выполним замену:

если

После такой замены получается однородное уравнение относительно неизвестной функции в котором, выполняя замену: получается уравнение с разделяющимися переменными.

Если же то после замены: исходное уравнение превращается в уравнение с разделяющимися переменными.

2) Некоторые ДУ возможно привести к однородным для новой, пока неизвестной функции если применить замену вида:

При этом число подбирается из условия, чтобы полученное уравнение, если это возможно, стало однородным. Однако если это сделать невозможно, значит рассматриваемое ДУ привести к однородному таким способом нельзя.

Примеры с решениями

Пример 1.Решить уравнение:

Решение. Данное уравнение имеет вид

однородное. Выполним замену:

общее решение уравнения.

При разделении переменных и делении на могло быть потеряно решение Однако функция не является решением данного уравнения.

Ответ:

Пример 2.Решить уравнение:

Решение. Проверим, что функции являются однородными функциями измерения.

Следовательно, уравнение является однородным.

Выполним замену:

Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделим переменные:

общее решение уравнения

Прямой подстановкой в заданное уравнение убедимся, что является его решением, но оно было потеряно при делении уравнения на

Ответ:

Пример 3. Решить задачу Коши:

Решение. Покажем, что уравнение приводится к однородному уравнению.

Решим систему уравнений:

По правилу Крамера:

Сделаем замену:

однородное уравнение.

Замена:

общий интеграл данного уравнения

При разделении переменных могли быть потеряны решения при делении на Решим уравнение

Однако эти функции входят в общий интеграл данного уравнения, при Найдем решение задачи Коши, используя начальное условие Подставим в общий интеграл значения и :

Таким образом частный интеграл данного уравнения, удовлетворяющий начальным условиям , будет задаваться формулой:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Покажем, что это уравнение приводится к однородному с помощью подстановки и далее интегрируется с использованием замены

Полученное уравнение будет однородным, если показатели степеней при и равны между собой, то есть:

Выполним подстановку:

Получилось однородное уравнение. Сделаем замену:

Получим общий интеграл данного уравнения. Однако заметим, что при разделении переменных было потеряно решение исходного уравнения которое надо добавить в ответ. Также было потеряно решение