Основные теоремы теории вероятностей

Краткая теоретическая справка

Теорема 1	Теорема 2
P(A+B)=P(A)+P(B), A и B несовместные события	P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A ∙ B), A и B совместные события P(A₁+А₂+…+А_n)=1- P( ∙ ∙ …∙ ), A₁ , A₂, …, A_n – совместные события A₁ + A₂ +…+A_n = A , где A – {появление хотя бы одного события}
Теорема 3	Теорема 4
P(AB)=P(A) ∙ P(B), A и B независимые события	P(A ∙ B)=P(A) ∙ P_А (B), A и B зависимые события

Алгоритм решения задач на основные теоремы вероятностей

Теорема 1

Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

1. Круговая мишень состоит из трех зон. Вероятность попадания в эти зоны при одном выстреле соответственно равны 0,1;0,35 и 0,4. Найти вероятность а) попадания в первую или третью зоны; б) попадания в мишень; в) промаха по мишени.

2. Вероятность выхода изделия из строя при сроке его эксплуатации до одного года равна 0,13, а при эксплуатации сроком до 3 лет – 0,36. Найти вероятность выхода изделия из строя при эксплуатации от 1 года до 3 лет.

3. В партии из 70 изделий 10% бракованных. С целью контроля из этой партии отбирают наугад 5 изделий. Если среди них окажется более 1 бракованного, то бракуется вся партия. Какова вероятность того, что партия изделий будет забракована?

Теорема 2

Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

1. Определить вероятность того, что при бросании двух игральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

2. Покупатель ищет необходимую вещь, обходя два магазина. Вероятность наличия ее в каждом магазине равна 50%. Что вероятнее – найдет он искомую вещь или нет?

3. На 200 лотерейных билетов 20% выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено 2 билета?

Задачи для тренинга

1. На полке стоят 10 книг, среди которых 3 книги по теории вероятностей. Наудачу берутся 3 книги. Какова вероятность, что среди отобранных хотя бы одна книга по теории вероятностей?

2. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды хотя бы на одном предприятии.

3. Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку 0,8. Найти вероятность того, что:

а) абитуриент получит хотя бы один высший балл;

б) получит один высший балл.

Теорема 3

Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

1. В финальных соревнованиях по прыжкам в высоту два студента готовятся к взятию предельной высоты. Вероятность успешного прыжка первого студента Р(А)=0,8, а у второго Р(В)=0,9. Какова вероятность того, что оба студента возьмут предельную высоту?

2. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,7, для третьего – 0,9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишени 3 пробоины?

3. На дактилоскопическую экспертизу поступило 3 отпечатка пальцев рук. Вероятность непригодности к работе каждого отпечатка соответственно составляет 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, что все три отпечатка будут обработаны.

Теорема 4