Технология решения задач по алгоритму

На формулу полной вероятности и формулу Байеса

Повторные независимые испытания

Краткая теоретическая справка

Производятся n независимых, однородных испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью р=р(А)и не произойти с вероятностью q=1-p

Вероятность того, что событие А произойдет ровно k раз при n испытаниях

Формула Бернулли

Формула Пуассона

Формула Муавра-Лапласа

Условия опыта 1. испытания независимы; 2. испытание имело только два исхода; 3. p – const

Условия опыта

Алгоритм решения задач на повторные независимые испытания

Формула Бернулли

Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

1. Вероятность выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:

а) выиграют только 3;

б) проиграют не менее 7.

2. Вероятность того, что в сентябре день будет дождливым равна 0,45. Найти вероятность того, что из первых 6 дней сентября дождливыми окажутся: а) ровно 4 дня; б) не менее 3 дней.

3. Тест содержит 10 вопросов, на которые следует отвечать, используя одно из двух слов «ДА», «НЕТ». Какова вероятность получения 80% правильных ответов, если использовать «метод угадывания»?

Формула Пуассона

Технология решения задач по алгоритму

Задачи для тренинга

1. В пчелиной семье 5000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеет:

а) три пчелы;

б) более чем одна пчела.

2. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,007. Поступило 1000 вызовов. Определить вероятность 9 «сбоев».

3. Какова вероятность того, что среди 730 пассажиров поезда:

а) четверо родились 23 февраля;

б) двое родились 8 марта.

Формула Муавра – Лапласа

Технология решения задачи по алгоритму

Задачи для тренинга

1. Вероятность заболевания ОРЗ во время эпидемии равна 0,3. Найти вероятность того, что из 500 сотрудников вуза во время эпидемии заболеют 50%.

2. Вероятность того, что зашедший в ресторан посетитель сделает заказ, равна 0,8. Определить вероятность того, что из 100 посетителей ровно 75 сделают заказ.

3. Установлено, что виноградник поражен вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражен. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить результаты и сделать выводы.

Задачи для тренинга по теме «Определение вероятности»

1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что на ее верхней грани появится: а) шесть очков; б) нечетное количество очков; в) не менее четырех очков; г) не более двух очков.

2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что: а) на обеих костях появится одинаковое количество очков; б) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение шести; в) сумма выпавших очков не превосходит шести; г) произведение числа очков делится на шесть.

3. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

4. В ящике находятся 90 годных и 10 дефектных деталей. Найти вероятность того, что среди двух наугад вынутых из ящика деталей будет одна дефектная.

5. Студент знает 24 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трех, содержащихся в билете.

6. В лотерее участвуют 200 билетов, из них крупные выигрыши приходятся на 10 билетов. Найти вероятность того, что из двух купленных билетов на один выпадет крупный выигрыш.

7. В коробке находятся 18 красных и 16 зеленых шаров. Наудачу извлекают два шара. Найти вероятность того, что извлеченные шары разного цвета.

8. В ящике имеется 20 деталей, из которых 15 окрашены. Наудачу извлечены 4 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

9. В сборной команде университета 10 студентов механического факультета, 8 – технологического и 8 – юридического. Тренер выставляет на игру случайным образом отобранных 6 спортсменов. Найти вероятность того, что среди них 2 с механического факультета, 2 – с технологического и 2 – с юридического?

10. На экспертизу поступили три партии одинаковых золотых изделий – по 20 штук. В первой коробке было одно бракованное изделие, во второй – два, в третьей – четыре. Из каждой коробки наугад извлекают по одному изделию. Найти вероятность того, что окажутся бракованными: а) все три изделия; б) одно изделие; в) два изделия; г) хотя бы одно изделие?

11. В ящике 10 красных и 6 синих одинаковых по форме пуговиц. Наудачу вынимаются две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного цвета?

12. В урне 25 белых и 20 черных шаров. На удачу извлекают 2 шара. Какова вероятность тога, что оба шара будут одного цвета?

13. В партии их 10 изделий 2 бракованных. Наугад выбирают 3 изделия. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет хотя бы одно бракованное.

14. В лотерее из 200 билетов четверть выигрышных. Девушка покупает 3 билета. С какой вероятностью можно сказать, что из купленных билетов хотя бы 2 выигрышных?

15. В отрезке АВ длины 5 случайно появляется точка С. Определить вероятность того, что расстояние от точки С до А превосходит 2.

16. В прямоугольном броневом щите размером 2 на 1 метр имеется невидимая для противника амбразура размером 10 на 10 см. Определить вероятность того, что пуля, попавшая в щит, попадет в амбразуру, если попадание в любую точку щита равновозможно.

17. В круг радиусом 5 вписан треугольник наибольшей площади. Определить вероятность попадания в треугольник точки, случайно брошенной в круг.

Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»

1. Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.

2. В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию по жребию последовательно вызываются 2 участника. Найти вероятность того, что оба участника соревнований мастера спорта.

3. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.

4. Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартное.

5. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно 0,4, 0,5 и 0,6.

6. Вероятность успешной сдачи экзамена по математике у студента А, студента В и студента С соответственно равны 0.7, 0.9 и 0.5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни один не сдаст экзамен.

7. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9 и для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены: а) только один станок потребует внимания; б) ни один станок не потребует внимания; в) только три станка потребуют внимания; г) все 4 станка потребуют внимания.

8. Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0.95, а старого 0.75. Найти вероятность того, что а) только один компьютер выйдет из строя; б) оба выйдут из строя; в) ни один не выйдет из строя.

9. Вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя пылесос, равна 0,15; выйдет из строя телевизор – 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба прибора выйдут из строя; б) хотя бы один прибор выйдет из строя?

10. Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении равна 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора: а) оба элемента выйдут из строя; б) хотя бы один элемент выйдет из строя.

11. Для сигнализации об аварии на автоматической линии установлены два независимо работающих устройства. Первое устройство в случае аварии срабатывает с вероятностью 0,85; второе – 0,95. Какова вероятность того, что в случае аварии сработает: а) только первое устройство; б) хотя бы одно устройство?

12. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым стрелком – 0,6. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок?

13. Два независимо работающих станка требуют внимания наладчика в течение смены с вероятностью р₁= 0,2 и р₂ = 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены внимания наладчика потребуют: а) оба станка; б) хотя бы один станок.

14. В первом ящике 10 белых и 20 черных шаров, во втором ящике 12 черных и 18 белых шаров. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) один шар белый; б) хотя бы один шар белый?

15. Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.

16. Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку – 0,8. Найти вероятность того, что абитуриент получит: а) хотя бы один высший балл; б) получит один высший балл.

17. Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) хотя бы один автомобиль.

18. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?