На какие классы делятся СМО?

Вариант 1

Задание 1. Системы массового обслуживания с отказами

Анализируется работа вычислительного центра (ВЦ) с тремя взаимозаменяемыми компьютерами для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность 1 задача в час. Средняя продолжительность обслуживания 1,8 часа. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими. Буфер ожидания отсутствует.

Определить показатели эффективности работы СМО (ВЦ). Определить, сколько компьютеров надо дополнительно приобрести, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение:

Исчисляем показатели обслуживания для одноканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 1 • 1.8 = 1.8

Интенсивность нагрузки ρ=1.8 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя канала).

Следовательно, 36% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 21.4 мин.

3. Доля заявок, получивших отказ (вероятность отказа).

p_отк = 1 - p₀ = 1 - 0.357 = 0.64

Значит, 64% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

4. Относительная пропускная способность.

Доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени:

Q = p₀ = 0.357

5. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = Q • λ = 0.357 • 1 = 0.357 заявок/час.

6. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.64 • 1.8 = 1.157 час.

7. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 1.8 • 0.357 = 0.643 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение час: λ • p₁ = 0.64 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 1 / 1.8 = 0.556 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 0.357 / 0.556 = 64% от номинальной производительности.

Задание 2. Системы массового обслуживания с очередью ограниченной длины

Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,5 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 5,8 минут; посетитель покидает телефонный узел, если в очереди находится 3 человека.

Требуется определить значения характеристик СМО при исходных данных, а также найти оптимальное количестве телефонов (чтобы обслуживалось более 95% заявок).

Решение:

Исчисляем показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

1. Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 0.5 • 5.8 = 2.9

Интенсивность нагрузки ρ=2.9 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Поскольку 2.9<3, то процесс обслуживания будет стабилен.

2. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 4.24% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 2.5 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 2.9¹/1! • 0.0424 = 0.123

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 2.9²/2! • 0.0424 = 0.178

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 2.9³/3! • 0.0424 = 0.172

3. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).

Значит, 16% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

4. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому: p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.156 = 0.844

Следовательно, 84% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

n_з = ρ • p_обс = 2.9 • 0.844 = 2.448 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 3 - 2.448 = 0.6 канала.

6. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 80% занята обслуживанием.

7. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = p_обс • λ = 0.844 • 0.5 = 0.422 заявок/мин.

8. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.156 • 5.8 = 0.904 мин.

Вероятность образования очереди.

Вероятность отсутствия очереди.

p = 1 - p_оч = 1 - 0.5 = 0.5

9. Среднее число заявок, находящихся в очереди.

10. Среднее время простоя СМО (среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).

11. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 2.9 • 0.844 = 2.448 ед.

12. Среднее число заявок в системе.

L_CMO = L_оч + L_обс = 0.956 + 2.448 = 3.405 ед.

13. Среднее время пребывания заявки в СМО.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p₁ = 0.078 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 3 / 5.8 = 0.517 заявок в мин.

Фактическая производительность СМО: 0.422 / 0.517 = 82% от номинальной производительности.

Задание 3. Системы массового обслуживания с очередью неограниченной длины

Интенсивность посещения телефонного узла, состоящего из трех телефонных аппаратов, составляет 0,25 человек в минуту; средняя продолжительность одного телефонного разговора составляет 10 минут. Если все телефоны заняты, клиент становится в очередь и ожидает обслуживания.

Найти вероятность того, что клиенты отсутствуют (все каналы обслуживания свободны), вероятность того, что заняты все телефоны, вероятность отказа в обслуживании, относительную и абсолютную пропускные способности телефонного узла.

Решение

1. Интенсивность нагрузки.
ρ = λ • t_обс = 0.25 • 10 = 2.5
Интенсивность нагрузки ρ=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).
Следовательно, 15.1% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 9.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p₁ = ρ¹/1! p₀ = 2.5¹/1! • 0.151 = 0.377
заняты 2 канала:
p₂ = ρ²/2! p₀ = 2.5²/2! • 0.151 = 0.472

4. Вероятность отказа (Доля заявок, получивших отказ).

Значит, 47% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

5. Вероятность обслуживания поступающих заявок (вероятность того, что клиент будет обслужен).

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность:

Q = p_обс.p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.472 = 0.528

Следовательно, 53% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием (Среднее число занятых каналов).

n_з = ρ • p_обс = 2.5 • 0.528 = 1.321 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 2 - 1.321 = 0.7 канала.

7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 70% занята обслуживанием.

8. Абсолютная пропускная способность (Интенсивность выходящего потока обслуженных заявок).

A = p_обс • λ = 0.528 • 0.25 = 0.132 заявок/мин.

9. Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.472 • 10 = 4.717 мин.

10. Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 2.5 • 0.528 = 1.321 ед.

11. Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p₁ = 0.118 заявок в мин.
Номинальная производительность СМО: 2 / 10 = 0.2 заявок в мин.
Фактическая производительность СМО: 0.132 / 0.2 = 66% от номинальной производительности.

Задание 4.

Что такое СМО?

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система для выполнения заявок, поступающих в неё в случайные моменты времени.