Оцінка параметрів генеральної сукупності за
Власновипадковою вибіркою. Оцінка генеральної частки
Нехай генеральна сукупність містить N елементів, з яких M мають деяку ознаку A. Необхідно знайти «найкращу» оцінку генеральної частки 
. Розглянемо в якості такої можливої оцінки параметра p його статистичний аналог – вибіркову частку 
.
А) Вибірка повторна
Вибіркову частку можна подати як середнє арифметичне n альтернативних випадкових величин 
, тобто 
, де кожна випадкова величина 
виражає кількість появ ознаки в k-му елементі вибірки (тобто при наявності ознаки 
, при її відсутності 
) і має один і той самий закон розподілу:
| ||
| 
| 
|
Дійсно, ймовірність того, що 1-й відібраний у вибірку елемент має ознаку A згідно із класичним означенням ймовірності рівна 
. Так як вибірка повторна, то кожен елемент знову повертається у вихідну сукупність, відновлюючи кожного разу її початковий склад і об’єм, то ймовірності 
та 
залишаються тими ж самими для будь-якого елемента вибірки, і закон розподілу 
один і той самий.
Випадкові величини 
незалежні, оскільки незалеж
ними є будь-які події 
та їх комбінації. Наприклад, незалежні події 
та 
, так як 
, тобто ймовірність того, що 2-й відібраний у вибірку елемент має ознаку A, не змінюється в залежності від того, чи мав ознаку A 1-й елемент чи ні і т.д.
Теорема 2.1Вибіркова частка 
повторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки 
, причому її
дисперсія 
де 
(2.7)
Доведення. Доведемо спочатку незміщеність оцінки 
Математичне сподівання і дисперсія частості події в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких вона може настати з однією і тією ж ймовірністю p рівні відповідно 
або 
Оскільки ймовірність того, що будь-який вибраний елемент має ознаку А, є генеральна доля р, то з першої рівності випливає, що частість або вибіркова доля w є незміщена оцінка генеральної долі р.
Доведемо спроможність оцінки 
, яка випливає безпосередньо з теореми Бернуллі 
.
Б) Вибірка безповторна
У випадку безповторної вибірки випадкові величини 
будуть залежними. Розглянемо, наприклад, події 
і 
. Тепер ймовірність 
оскільки відібраний елемент у вихідну сукупність не повертається, то в ній залишається всього N – 1 елементів, з яких ознаку A мають M – 1.Ця ймовірність 
не дорівнює 
тобто події 
і 
- залежні. Аналогічно будуть залежними будь-які події 
, 
а це означає, що залежними є випадкові величини 
Теорема 2.2Вибіркова частка 
безповторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки 
причому її дисперсія 
де 
(2.8)
Доведення. Очевидно, що і для безповторної вибірки 
тобто w – незміщена оцінка для генеральної частки 
Це пов’язано з тим, що математичне сподівання суми будь-яких двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань (в тому числі суми залежних випадкових величин, якою є вибіркова частка w безповторної вибірки).
Знайдемо дисперсію вибіркової частки для безповторної вибірки:
де 
тобто вірною є формула (2.8)(при виведенні формули для 
використовували те, що випадкова величина 
у випадку безповторної вибірки має гіпергеометричний розподіл, і її дисперсія визначається за формулою 
.
Для того, щоб легше було зрозуміти формулу (2.8), розглянемо її частинні випадки і переконаємося в справедливості цієї формули:
1. При 
, тобто якщо об’єм вибірки
значно менший від об’єму генеральної сукупності, то вибірка практично не відрізняється від повторної, і дисперсії вибіркової частки 
і 
наближено рівні.
2. При 
тобто, якщо припустити, що об’єм вибірки рівний
об’єму генеральної сукупності, то вибіркова частка буде рівна генеральній частці, і її дисперсія буде дорівнювати нулю.
◄Приклад 2.5Знайти незміщену і спроможну оцінку частки робітників цеху із виробітком не меншим 124% за вибіркою, поданою у табл.1.1 (розділ 1).
Розв’язання. Незміщеною і спроможною оцінкою генеральної частки 
є вибіркова частка
►