Оцінка генерального середнього
Нехай із генеральної сукупності об’єму N відібрана випадкова вибірка 
де 
- випадкова величина, що виражає значення ознаки y k-го елемента вибірки 
Знайдемо «найкращу»
оцінку для генерального середнього.
Розглянемо в якості такої можливої оцінки вибіркове середнє 
(згадаємо, що в прикладі 2.4саме виявилось оцінкою методом найменших квадратів для 
), тобто 
а) Вибірка повторна
Закон розподілу для кожної випадкової величини 
має вигляд
| 
| 
| ... | 
| ... | 
| ||
| 
| 
| ... | 
| ... | 
|
Дійсно, ймовірність того, що 1-й відібраний у вибірку елемент має значення ознаки 
, згідно із класичним означенням ймовірності дорівнює 
оскільки 
елементів мають значення ознаки 
. Оскільки вибірка повторна, і кожен відібраний і досліджений елемент повертається у вихідну сукупність, відновлюючи кожен раз її початковий склад і об’єм, то ймовірність 
для будь-якого елемента вибірки. Аналогічно, 
для 
і запевняємось у тому, що закон розподілу кожної випадкової величини 
один і той самий. Випадкові величини 
незалежні, оскільки незалеж- ними є будь-які події 
та їх комбінації.
Знайдемо числові характеристики випадкової величини 
:
(2.9)
(2.10)
тобто математичне сподівання і дисперсія кожної випадкової величини
- це відповідно генеральне середнє і генеральна дисперсія.
Теорема 2.3Вибіркове середнє 
повторної вибірки є незміщеною і спроможною оцінкою генерального середнього 
, причому
(2.11)
Доведення. Доведемо спочатку незміщеність оцінки. Знайдемо математичне сподівання вибіркового середнього 
, враховуючи (2.9):
тобто 
- незміщена оцінка для 
. Знайдемо дисперсію вибіркового середнього 
, враховуючи (2.10) і те, що 
- незалежні
випадкові величини:
Залишилось довести спроможність оцінки 
, яка випливає безпосередньо із теореми Чебишова: 
або 
Б) Вибірка безповторна
У цьому випадку випадкові величини 
будуть залежними. Розглянемо, наприклад, події 
і 
Тепер ймовірність 
оскільки відібраний елемент (у випадку безповторної вибірки) у вихідну сукупність не повертається, то в ній залишається всього N – 1елементів, з яких зі значенням ознаки : 
. Ця імовірність 
не дорівнює 
тобто події 
і 
залежні. Аналогічно будуть залежними будь-які події 
а значить, залежні випадкові величини 
Однак, і для безповторної вибірки вибіркове середнє є «доброю» оцінкою. Про це свідчить теорема.
Теорема 2.4Вибіркове середнє 
безповторної вибірки є незміщена і спроможна оцінка генерального середнього 
, причому
(2.12)
Теорему приймаємо без доведення.