Построение линейных многошаговых методов решения задачи Коши

⇐ Назад

Рассмотрим задачу Коши , (1) и (2). На введем равномерную сетку , , . Линейные многошаговые методы задаются соотношением

, (3). Для начала вычислений по формуле (3) необходимо знать разгонные значения. . Значение берется из (2), остальные определяются посредством одношагового метода соответствующего порядка точности.

Числа и в (3) будем называться параметрами метода (3). При (3) будем явным методом, а при – неявным методом.

Пусть точное решение задачи (1), (2). Погрешность метода (3), как правило, удовлетворяет оценке

где . В основу построения многошаговых методов (3) (т.е. выбора и ) положим понятие алгебраического порядка точности. Будем говорить, что метод (3) имеет алгебраический порядок точности, равный , если он является точным для любого многочлена степени . Если – многочлен степени , то , т.е. .

Для построения метода (3) алгебраического порядка точности равного , будем поочередно подставлять в (3) функции вида: . При . В силу (1) . Далее , необходимо чтобы выполнялось точно, поэтому при подстановке функции будем иметь соотношение (4)

Таким образом, условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы метод (3) был точен для любого многочлена нулевой степени. Положим теперь . Подставляя эти соотношения в (3) будем иметь: . Последнее соотношение перепишем так:

В силу (4), последнее равенство запишем в виде:

(5)

Таким образом, для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности, равный 1, необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли условиям (4) и (5). Продолжая этот процесс, получим соотношение (6)

Т.е. для того, чтобы метод (3) имел алгебраический порядок точности равный необходимо и достаточно, чтобы его параметры удовлетворяли (4), (5), а при еще и (6). Соотношение (4) и (5) (или (4),(5),(6)) представлял собой систему линейных алгебраических уравнений, которая в общем случае может иметь не единственное решение. Поэтому, ряд параметров метода (3), имеющий алгебраический порядок точности равный , будут свободными. Т.е. ими можно распорядиться, например, для повышения алгебраического порядка точности или повышения устойчивости, либо чтобы сделать метод (3) явным.

Пример. Пусть (3) имеет вид: (7). Обозначим . В данном случае условия (4) и (5) таковы . Поэтому (7) можно переписать в виде (8).

Метод (8) точен для любого многочлена первой степени и содержит 1 свободных параметр . Например, если положить , то получим явный метод, который является методом Эйлера. Однако, например можно выбрать и таким образом, чтобы метод (8) был точен для любого многочлена второй степени. Действительно, будем подставлять в (8) функцию: . В данном случае: