Функц-ные ряды.Основные опр-ния

(1)

Каждым членом которого является функция от x.

Добавим аргументу x различные значения из (1) будем получать различные числовые ряды некоторые из которых сходятся, а некот. расходятся.

Множество значений х, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости функционального ряда. Очевидно, что область сходимости, тоже является функцией от х.

Площадь криволинейного сектора в полярных коор-тах

Любая точка в полярной системе координат задается полярным углом и соответствующим полярным радиусом . - это угол, отсчитываемый от полярной оси в положительном направлении (против часовой стрелки), а - это расстояние от заданной точки до начала координат (полюса).

Знакочередующиеся ряды.Признак Лейбница

Теорема Лейбница:

Если в знакочередующемся ряду , где положительны, члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство: Рассмотрим сумму первых членов ряда. По условию 1 выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, сумма положительна и возрастает с возрастанием m. Запишем теперь эту же сумму так:

По условию 1 каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из мы получим число, меньшее . Таким образом, мы установили, что при возрастании m возрастает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел S

, причем . Однако сходимость еще не доказана. Мы доказали только, что последовательность четных частичных сумм имеет пределом число S. Докажем теперь, что нечетные частичные суммы также стремятся к пределу S. Рассмотрим для этого сумму первых членов исходного ряда. . Так как по условию 2 теоремы , то следовательно Тем самым мы доказали, что как при четном n, так и при нечетном. Следовательно, исходный ряд сходится.

! Теорема Лейбница справедлива, если условия выполняются с некоторого N.

44.1.Вычисление длины дуги кривой

Под длиной дуги кривой понимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.Допустим, что кривая определена уравнением , при этом представлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на . Разделим ее на частей посредством точек с абсциссами и проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее -го звена

здесь , составляет Из определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции , то (18.1)