Динамика вращательного движения твердого тела
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси
где 
– момент инерции тела; 
– угловое ускорение.
Момент инерции твердого тела
где 
– расстояние элемента массы 
от оси вращения.
Момент инерции твердого тела в интегральном виде
.
Момент инерции материальной точки
.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно стержню,
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно стержню,
Момент инерции однородного диска (цилиндра) относительно оси, проходящей через центр диска (цилиндра) перпендикулярно плоскости диска,
Момент инерции однородного шара относительно оси, проходящей через центр шара,
.
Теорема Штейнера:
,
где 
– момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси; 
– расстояние между осями.
Закон сохранения момента импульса
,
где 
– момент инерции и угловая скорость 
-го тела, входящего в систему.
Работа момента силы
где 
– угол поворота.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,
,
где 
– кинетическая энергия поступательного движения тела; 
– скорость центра масс тела; 
– кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр масс тела.
 Задание 3.1
| |
| Алюминиевый и стальной цилиндры имеют одинаковую высоту и равные массы. На цилиндры действуют одинаковые по величине силы, направленные по касательной к их боковой поверхности. Сравните моменты сил, действующих на цилиндры. | |
| Варианты ответов: | |
| 1) | 
|
| 2) | 
|
| 3) | 
|
| 4) | 
|
| Задание 3.2 | ||||
| Колесо вращается так, как показано на рисунке белой стрелкой. К ободу колеса приложена сила, направленная по касательной. Вектор угловой скорости колеса совпадает по направлению с вектором… | 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 2) | |||
| 3) | 4) | |||
| 5) | ||||
| Задание 3.3 | ||||
| Колесо вращается так, как показано на рисунке белой стрелкой. К ободу колеса приложена сила, направленная по касательной. Вектор угловой скорости колеса совпадает по направлению с вектором… | 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 2) | |||
| 3) | 4) | |||
| 5) | ||||
| Задание 3.4 | |||
На каком рисунке правильно показаны направления векторов момента импульса  и момента сил  для равноускоренно вращающегося твердого тела?
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
|
| Задание 3.5 | |||
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота изменяется с течением времени по закону  . Если момент инерции тела 0,5 кг  м  , то действующий момент силы равен…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 10 Н м
| 2) | 5 Н м
|
| 3) | 1,25 Н м
| 4) | 2 Н м
|
| Задание 3.6 | |||
Четыре маленьких шарика расположены вдоль прямой а. Расстояния между соседними шариками одинаковы. Массы шариков слева направо: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г.
Если поменять местами шарики 3 и 4, то момент инерции этой системы относительно оси о, перпендикулярной прямой а и проходящей через середину отрезка 2–3...
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | уменьшится | 2) | не изменится |
| 3) | увеличится | 4) |
| Задание 3.7 | ||||
Три маленьких шарика расположены в вершинах правильного треугольника. Момент инерции системы относительно оси  проходящей через два шарика,  Момент инерции системы относительно оси  проходящей через геометрический центр треугольника и параллельной предыдущей оси,  . Можно утверждать, что…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| |||
| Задание 3.8 | ||||
| Диск и цилиндр имеют одинаковые массы и радиусы. Сравните моменты инерции тел… |  
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| |||
| Задание 3.9 | ||||
При расчете моментов инерции тела относительно осей, не проходящих через центр масс, используют теорему Штейнера. Если ось вращения  перенести из центра масс кольца на его край, то момент инерции увеличится в…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 2 раза | 2) | 3 раза | |
| 3) | 4 раза | 4) | 1,5 раза | |
| Задание 3.10 | |||
Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол поворота изменяется с течением времени по закону  . Если момент инерции тела равен 1,25 кг м , то действующий момент силы равен…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 10 Н м
| 2) | 5 Н м
|
| 3) | 2 Н м
| 4) | 1,25 Н м
|
| Задание 3.11 | |||
| Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | выше поднимется полый цилиндр | 2) | выше поднимется шар |
| 3) | оба тела поднимутся на одну и ту же высоту |
| Задание 3.12 | |||
| Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Сравните скорости тел у основания горки. | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
|
| Задание 3.13 | |||
| Шар и полый цилиндр (трубка), имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Сравните время скатывания тел к основанию горки. | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
|
| Задание 3.14 | |||
| Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости этих тел одинаковы, то… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | выше поднимется полый цилиндр | 2) | выше поднимется сплошной цилиндр |
| 3) | оба тела поднимутся на одну и ту же высоту |
| Задание 3.15 | |||
| Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Сравните скорости тел у основания горки. | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | Больше скорость сплошного цилиндра. | 2) | Больше скорость полого цилиндра. |
| 3) | Скорости обоих тел одинаковы. |
| Задание 3.16 | |||
| Сплошной и полый (трубка) цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Сравните время скатывания тел к основанию горки. | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | Время скатывания сплошного цилиндра меньше. | 2) | Время скатывания полого цилиндра меньше. |
| 3) | Оба тела скатятся одновременно. |
| Задание 3.17 | |||
| Шар и полая сфера, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Сравните время скатывания тел к основанию горки. | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | Время скатывания полой сферы меньше. | 2) | Оба тела скатятся одновременно. |
| 3) | Время скатывания шара меньше |
| Задание 3.18 | ||||
Для того чтобы раскрутить диск радиусом  вокруг оси до угловой скорости  , необходимо совершить работу  . Под прессом диск становится тоньше, а его радиус возрастает до  . Для того чтобы раскрутить новый диск до той же угловой скорости, необходимо совершить работу…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.19 | |||
| Физический маятник совершает колебания вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка. Для данного положения маятника момент силы тяжести направлен… | 
| ||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | вниз в плоскости рисунка | 2) | вверх в плоскости рисунка |
| 3) | от нас перпендикулярно плоскости рисунка | 4) | к нам перпендикулярно плоскости рисунка |
| Задание 3.20 | ||||
| Планета массой m движется по эллиптической орбите, в одном из фокусов которой находится звезда массой М. При движении планеты по орбите… | 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | момент импульса планеты относительно центра звезды сохраняется | 2) | момент силы тяготения относительно центра звезды не равен нулю | |
| 3) | момент импульса планеты относительно центра звезды равен 
| |||
| Задание 3.21 | ||||
Диск вращается равномерно с некоторой угловой скоростью . Начиная с момента времени  , на него действует момент сил, зависимость которого от времени представлена на графике. Какой из рисунков правильно отражает зависимость момента импульса диска от времени?
|
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.22 | |||
Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется с течением времени по закону  .Какой из рисунков правильно отражает зависимость от времени модуля момента сил, действующего на тело?
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
| 4) | 
|
| Задание 3.23 | |||
| Если момент инерции тела увеличить в 2 раза, а его угловую скорость уменьшить в 2 раза, то момент импульса тела… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | уменьшится в 2 раза | 2) | не изменится |
| 3) | увеличится в 4 раза | 4) | уменьшится в 4 раза |
| Задание 3.24 | |||
| Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и угловую скорость увеличить в 2 раза, то момент импульса тела… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | увеличится в 4 раза | 2) | увеличится в 8 раз |
| 3) | увеличится в  раза
| 4) | не изменится |
| Задание 3.25 | |||
Две материальные точки одинаковой массы движутся с одинаковыми угловыми скоростями по окружностям радиусами  . Отношение моментов импульса материальных точек  равно…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 1/2 | 2) | |
| 3) | 4) | 1/4 | |
| 5) |
| Задание 3.26 | ||||
Два невесомых стержня длиной b соединены под углом  и вращаются без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси О с угловой скоростью . На конце одного из стержней прикреплен очень маленький массивный шарик. В некоторый момент угол между стержнями самопроизвольно увеличился до  . Определите угловую скорость системы.
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| 5) |
| |||
| Задание 3.27 | |||
| Человек сидит в центре карусели, вращающейся вокруг вертикальной оси, и держит в руках длинный шест за его середину. Если он повернет шест из вертикального положения в горизонтальное, то частота вращения системы человек – карусель – шест… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | не изменится | 2) | уменьшится |
| 3) | увеличится |
| Задание 3.28 | ||||
Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью  вращается система: невесомый стержень и массивная шайба, которая удерживается нитью на расстоянии от оси вращения. Отпустив нить, шайбу перевели в положение 2, где она стала двигаться по окружности радиусом  с угловой скоростью…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.29 | ||||
Вокруг неподвижной оси с угловой скоростью свободно вращается система из невесомого стержня и массивной шайбы, которая удерживается нитью на расстоянии от оси вращения. Потянув нить, шайбу перевели в положение 2, и она стала двигаться по окружности радиусом  с угловой скоростью…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.30 | |||
На общую вертикальную ось насажены два диска с моментами инерции  и  . Зависимость угла поворота дисков от времени задается уравнениями  ,  . В некоторый момент верхний диск падает и сцепляется с нижним. Определите угловую скорость дисков после сцепления.
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 0,6 рад/с | 2) | -1,8 рад/с |
| 3) | 1,8 рад/с | 4) | -0,6 рад/с |
| Задание 3.31 | ||||
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в отношении 1/3. На ее правый конец падает тело массой  =2 кг, скорость которого в момент удара  . Если после удара это тело прилипает к доске, то тело массой  =1 кг будет двигаться со скоростью…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.32 | ||||
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в отношении 1/3. На ее правый конец падает и прилипает тело массой  =2 кг. Если после удара тело массой  =1 кг двигается со скоростью  , то скорость тела 2 в момент удара была равна…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) | 
| |
| Задание 3.33 | ||||
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в отношении 1/3. На ее правый конец падает и прилипает тело массой  =1 кг. Если после удара тело массой  =2 кг двигается со скоростью  , то скорость тела 2 в момент удара была равна…
| 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) |
| 2) | 
| |
| 3) | 
| 4) |
| |
| Задание 3.34 | |||
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски в отношении 1/3. На ее правый конец падает и прилипает тело массой =1 кг. После удара первое тело движется со скоростью . Вычислите массу тела  .
| 
| ||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | =9 кг
| 2) |  =1 кг
|
| 3) | =2 кг
| 4) | =4,5 кг
|
| Задание 3.35 | |||
Невесомая доска покоится на двух опорах. Правая опора делит длину доски на две неравные части. На правый конец падает и прилипает тело массой =2 кг. После удара первое тело массой =1 кг движется со скоростью  . Вычислите  .
| 
| ||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
| 4) | 
|
Колебания
Дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний материальной точки
где 
– смещение материальной точки от положения равновесия; 
; 
( 
– коэффициент квазиупругой силы; 
– масса точки).
Уравнение свободных гармонических колебаний точки
где 
– амплитуда колебаний, 
– начальная фаза, 
циклическая частота ( 
– период колебаний).
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
где 
– коэффициент затухания ( 
– коэффициент сопротивления); – собственная циклическая частота.
Уравнение затухающих колебаний
где 
– время, в течение которого амплитуда уменьшается в 
раз (время релаксации).
Логарифмический декремент затухания
где 
и 
– амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих по времени друг от друга на период.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний
где 
( 
– амплитуда периодической силы).
Амплитуда вынужденных колебаний
Резонансная амплитуда и частота
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания,
Период колебаний тела, подвешенного на пружине,
где – масса тела, 
– жесткость пружины.
Период колебаний математического маятника
где 
– длина маятника, 
– ускорение свободного падения.
Период колебаний физического маятника
где – момент инерции тела относительно оси колебаний; 
– расстояние центра масс маятника от оси колебаний.
Амплитуда 
результирующего колебания при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой,
где 
и 
– амплитуды составляющих колебаний; 
и 
– начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания при сложении двух колебаний с одинаковыми частотам, происходящими по одной прямой,
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами и и начальными фазами и 
,
Если 
, уравнение траектории имеет вид
т.е. точка движется по эллипсу, оси которого совпадают с осями координат 
.
| Задание 4.1 | |||
Уравнение движения пружинного маятника  является дифференциальным уравнением…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | свободных незатухающих колебаний | 2) | свободных затухающих колебаний |
| 3) | вынужденных колебаний |
| Задание 4.2 | |||
Уравнение движения пружинного маятника  является дифференциальным уравнением…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | свободных незатухающих колебаний | 2) | свободных затухающих колебаний |
| 3) | вынужденных колебаний |
| Задание 4.3 | |||
Уравнение движения пружинного маятника  является дифференциальным уравнением…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | вынужденных колебаний | 2) | свободных затухающих колебаний |
| 3) | свободных незатухающих колебаний |
| Задание 4.4 | ||||
| Маятник совершает свободные гармонические колебания так, что скорость маятника изменяется с течением времени согласно графику, представленному на рисунке. На маятник начинает действовать периодически изменяющаяся внешняя сила. Резонанс будет наблюдаться, если период колебаний вынуждающей силы равен… | 
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 0,6 с | 2) | 0,4 с | |
| 3) | 0,8 с | 4) | 0,2 с | |
| Задание 4.5 | ||||
На рисунке изображен график затухающих колебаний. – смещение частицы от положения равновесия, описываемое уравнением
 .
Определите коэффициент затухания  .
|
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 0,5 | 2) | ||
| 3) | 4) | 2,7 | ||
| Задание 4.6 | ||||
На рисунке изображен график затухающих колебаний. – смещение частицы от положения равновесия, описываемое уравнением
 .
Определите время релаксации  (в с).
|
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 2) | 0,5 | ||
| 3) | 4) | |||
| Задание 4.7 | |||
| Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу колеблющегося тела, то время релаксации… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | уменьшится в 2 раза | 2) | уменьшится в 4 раза |
| 3) | увеличится в 4 раза | 4) | увеличится в 2 раза |
| Задание 4.8 | |||
| Груз на пружине совершает свободные гармонические колебания. После уменьшения массы груза свободные колебания маятника показаны на рисунке… |
| ||
| Варианты ответов: | |||
| 1) |
| 2) |
|
| 3) |
| 4) |
|
| Задание 4.9 | ||||
| На рисунках изображены зависимости от времени координаты и скорости колеблющейся материальной точки. | ||||
|
| |||
| Циклическая частота колебаний частицы равна... | ||||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 1 
| 2) | 4
| |
| 3) | 3
| 4) | 2
| |
| Задание 4.10 | ||||
| На рисунках изображены зависимости от времени скорости и ускорения колеблющейся материальной точки. | ||||
| 
| |||
| Циклическая частота колебаний частицы равна... | ||||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 4
| 2) | 3
| |
| 3) | 1
| 4) | 2
| |
| Задание 4.11 | ||||
| На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения колеблющейся материальной точки. | ||||
| 
| |||
| Циклическая частота колебаний частицы равна... | ||||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 3
| 2) | 1
| |
| 3) | 4
| 4) | 2
| |
| Задание 4.12 | ||||
| На рисунке представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k=10 H/м от частоты внешней силы. Вычислите массу колеблющегося груза. |
| |||
| Варианты ответов: | ||||
| 1) | 1 т | 2) | 10 кг | |
| 3) | 0,1 кг | 4) | 0,01 кг | |
| Задание 4.13 | |||
| Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуда результирующего колебания минимальна при разности фаз… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | |
| 3) | 
| 4) | 
|
| Задание 4.14 | |||
| Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Амплитуда результирующего колебания максимальную амплитуду при разности фаз … | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 2) |
| |
| 3) |
| 4) |
|
| Задание 4.15 | |||
| При сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами результирующее колебание имеет такую же амплитуду, что и складываемые колебания, при этом разности фаз… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | |
| 3) |
| 4) |
|
| Задание 4.16 | |||
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами  . При разности фаз  амплитуда результирующего колебания равна…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | |
| 3) | 
| 4) | 
|
| Задание 4.17 | |||
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми частотами и равными амплитудами  . При разности фаз  амплитуда результирующего колебания равна…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 2) |
| |
| 3) | 
| 4) |
|
| Задание 4.18 | |||
Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами . При разности фаз  амплитуда результирующего колебания равна…
| |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) |
| 2) | 
|
| 3) |
| 4) |
| Задание 4.19 | |||
| Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания, равна… | |||
| Варианты ответов: | |||
| 1) | 
| 2) | 
|
| 3) | 
| 4) | 
|
| 5) | 
|
| Задание 4.20 | |||||
Материальная точка одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат  и  с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз  траектория частицы изображена на рисунке…
| 1.
| 2.
| |||
3.
| 4.
| ||||
| Варианты ответов: | |||||
| 1) | 2) | ||||
| 3) | 4) | ||||