Пульсирующее ламинарное движение вязкой ньютоновской жидкости в круглой цилиндрической трубе
Задача о нестационарном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе кругового профиля давно привлекала внимание исследователей. Простейший случай этой задачи в 1879г. рассмотрел еще Гельмгольц. В общей постановке для любых начальных условий и заданного закона зависимости перепада давлений в трубе от времени задача была систематически исследована в сочинении казанского профессора И. С. Громека, относящемся к 1882г.
В настоящем параграфе изложено решение задачи об установившемся пульсирующем движении вязкой жидкости в круглой трубе под действием гармонически изменяющегося со временем перепада давления [3].
Основное дифференциальное уравнение ламинарного нестационарного движения в цилиндрической трубе круглого сечения в цилиндрических координатах и предположениях, что труба бесконечно длинная и поток направлен вдоль оси трубы, так что из трех компонент скорости остается лишь одна υ направленная вдоль оси трубы, имеет вид
(3.70)
где положено в общем случае
Уравнение это надо интегрировать при граничном условии
при 
(3.71)
и начальном условии (в случае осесимметричного движения)
при 
. (3.72)
Рассмотрим установившееся пульсирующее движение, соответствующее гармоническому закону изменения перепада давления в трубе
Начальное условие при этом теряет свое значение, сохраняется лишь граничное условие (3.71). Положив
(3.73)
и введя вместо t новую переменную 
, перепишем уравнение (3.70) в виде
(3.74)
соответственно преобразуем граничное условие (3.71)
(3.75)
Уравнение (3.74) относится к параболическому типу и совпадает с уравнением теплопроводности. Поставленная задача эквивалентна задаче распространения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности которого температура пульсирует со временем по закону (3.75).
Составим частное решение уравнения (3.74) в форме произведения функций от r и τ
(3.76)
где λ – пока неопределенная, но действительная величина. Поставляя (3.76) в (3.74), получим для определения R(r) обыкновенное линейное уравнение второго порядка
(3.77)
Частное решение его, конечное при r = 0 (на оси трубы), будет
. (3.78)
Здесь 
- бесселева функция нулевого порядка от комплексного аргумента, а действительные функции Кельвина ber(x) и bei(x) представляют собой действительную и взятую с обратным знаком мнимую части (Re – действительная часть, Im – мнимая часть)
,
(3.79)
Вводя комплексную постоянную интегрирования B - iC, составим общее решение уравнения (3.74) в виде действительной части выражения
(3.80)
Подставляя это выражение в граничное условие (3.75), приравнивая аргументы тригонометрических функций и коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим систему уравнений для определения λ и констант В и С
Вычисляя константы, найдем
(3.81)
Возвращаясь к переменной 
и подставляя полученное значение φ(r,τ) из (3.80) в (3.73), окончательно получим следующее выражение для искомого распределения скоростей:
(3.82)
Входящие сюда функции затабулированы, так что вычисление эпюр скоростей в различные моменты времени не составляет труда.
Чтобы дать некоторое представление о характере изменения эпюр скоростей со временем, приводим на рис. 3.9 эпюры скоростей в указанные на оси абсцисс моменты времени для значений параметра
и 7,237,
являющихся корнями функции 
, что облегчает вычисление по формуле (3.82). Судя по этим кривым, видно, что при рассмотренных колебаниях давления в трубе возникают обратные токи. Наблюдается также опережение слоев, расположенных вблизи оси трубы, пристеночными слоями.
Рис. 3.9.
На этом мы закончим рассмотрение точных решений уравнений движения для вязких ньютоновских (уравнения Навье-Стокса) и неньютоновских вязких жидкостей и перейдем к приближенным решениям. Под точными решениями мы понимали такие решения, которые получались из уравнений движения при сохранении всех членов, тождественно не равных нулю для изучавшихся течений. Под приближенными решениями мы будем понимать такие решения, которые получаются из уравнений движения путем отбрасывания в них членов, по своей величине малых в условиях рассматриваемой задачи. При приближенных решениях особую роль играют два предельных случая: в первом из них силы трения значительно больше, чем силы инерции, во втором же они значительно меньше, чем силы инерции (течения в пограничном слое). В то время как в первом случае допустимо отбросить все инерционные члены, во втором случае, то есть в теории пограничного слоя, отнюдь нельзя одновременно отбросить все члены, зависящие от вязкости, так как это привело бы к невозможности выполнения граничного условия – условия прилипания жидкости к стенкам.
Глава IV