Невырожденные линейные операторы. Теорема о взаимной однозначности
Определение. Линейный оператор 
называется невырожденным, если он любой ненулевой вектор переводит в ненулевой.
Теорема 4.4. Для того чтобы линейный оператор 
был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он был взаимно однозначным.
►Пусть – линейный оператор, А – его матрица в некотором базисе, X и Y – координатные столбцы в том же базисе векторов 
и 
соответственно. Тогда
{ 
невырожденный} 
{ 
система 
имеет единственное решение} { 
единственный 
, что 
}
{ 
единственный 
, что 
} {f – взаимно однозначный}.◄
Теорема 4.6.Произведение невырожденных линейных операторов – невырожденный линейный оператор.
►Пусть и 
– невырожденные линейные операторы. Тогда
{ 
} 
{ 
} 
{ 
}.
Tаким образом, gf – невырожденный линейный оператор.◄
Вопрос 22
Обратный линейный оператор
Теорема 4.7. Для любого невырожденного линейногооператора 
существует единственный обратный оператор 
, который также является линейным. При этом, если А – матрица оператора 
в некотором базисе, то матрица оператора 
в том же базисе совпадает с матрицей 
.
►Единственность. Пусть некоторый оператор 
имеет два разных обратных: 
и 
. Тогда
– противоречие.
Существование. Пусть А – матрица оператора 
в некотором базисе. Тогда, по теореме 4.4 
, значит, существует . Обозначим 
– тот линейный оператор, матрица которого в выбранном базисесовпадаетс 
.
Так как 
, и так как произведению матриц соответствует произведение операторов, то 
, и, таким образом, 
.◄
Замечание. Можно доказать, что любой взаимно однозначный линейный оператор имеет единственный обратный, который тоже является линейным.
Вопрос 23
Определение и свойства изоморфизма линейных пространств
Определение.Изоморфизмом линейных пространств называется взаимно однозначный линейный оператор. Если существует изоморфизм , то линейные пространства 
и 
называются изоморфными. Изоморфизм обозначается так: 
.
Так как изоморфизм – взаимно однозначное отображение, то изоморфные объекты содержат одинаковое количество элементов. Кроме того, в силу линейности, действия, производимые над элементами пространства , одновременно производятся и над элементами пространства . Поэтому в математике изоморфные объекты не различаются.
Свойства изоморфизма
1. 
– рефлективность (изоморфизм осуществляет тождественное отображение).
2. 
– симметричность (если первый изоморфизм осуществляет с помощью отображения f, то второй – с помощью 
).
3. { , 
} 
– транзитивность (если первый изоморфизм осуществляется с помощью отображения , второй – 
, то третий изоморфизм осуществляется с помощью отображения 
).
Строгого доказательства этих свойств мы не приводим.
Вопрос 24