Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Арифметические действия с матрицами

МАТРИЦЫ

 

3.1. Предварительные сведения. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем виде:

.

Для обозначения матрицы используют прописные латинские буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица имеет размер 2x3. Далее, bij - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).

При ссылке на i-ю строку матрицы A используют обозначение Ai, при ссылке на j-й столбец – обозначение Aj.

Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней)треугольной матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3

, , ,

матрица A является верхней треугольной, B – диагональной, C – нижней треугольной, E – единичной.

Матрицы A, B называются равными (A=B), если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых позициях, совпадают.

Арифметические действия с матрицами.

Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это число:

.

Чтобы найти сумму матриц A, B одной размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на одинаковых местах):

.

Пример 3.1. Найти 2A-B, если , .

Решение. Сначала умножаем матрицу A на число "2", затем матрицу B на число "-1", и, наконец, находим сумму полученных матриц:

Произведение AB можно определить только для матриц A размера mxn и B размера nxp, при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B: (i=1,2,...,m; j=1,2,...,p). Фактически необходимо каждую строку матрицы A (стоящей слева)умножить скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа)

Пример 3.2. Найти произведение матриц и .

Решение. Размер матрицы A 3x2, матрицы В 2х2. Поэтому произведение АВ найти можно, произведение ВА – нет. Действуя по сформулированному выше правилу, получаем:

Матрицей, транспонированной к матрице A размера mxn, называется матрица AT размера nxm, строки которой являются столбцами исходной матрицы.

Например, если , то .

Пример 3.3.Найти .

Решение. Воспользовавшись вычислениями, проведенными при решении примера 3.2, а также правилами умножения матрицы а число и сложения матриц, получим:

.

3.3. Элементарные преобразования матриц.К таким преобразованиям матриц относятся следующие действия:

1) перемена местами двух строк матрицы (краткая запись: );

2) вычеркивание нулевой строки (в которой все элементы равны нулю);

3) умножение всех элементов одной строки матрицы на одно и то же число, отличное от нуля (коротко: );

4) прибавление к элементам одной строки матрицы соответствующих элементов другой ее строки, умноженных на одно и то же отличное от нуля число (коротко: ).

Вычеркивание нулевой строки приводит к изменению размера матрицы, поэтому говорить о равенстве матриц при подобных преобразованиях нельзя.

Матрицы A, B называются эквивалентными, если одна получена из другой путем элементарных преобразований.

Матрица A размера mxn называется ступенчатой, если в каждой ее строке есть элемент, в столбце которого все элементы ниже являются нулями, а в последней строке есть хотя бы один ненулевой элемент. Упомянутые в определении ненулевые элементы называют ведущими.

Примеры ступенчатых матриц: , . Любая верхняя (нижняя) треугольная матрица или диагональная матрица также является ступенчатой.

 

Теорема 3.1. Любую ненулевую матрицу можно путем элементарных преобразований свести к эквивалентной ей ступенчатой матрице.

Пример 3.4. Привести к ступенчатому виду матрицы , .

Решение. При преобразованиях матрицы A в качестве ведущего элемента в первой строке рассматриваем a13, во второй – a21 . Имеем:

.

Последняя матрица является ступенчатой, причем ведущим элементом в третьей строке является a32. Итак, .

Проведем преобразования для матрицы B.

.

Итак, . В данном случае в первой строке ведущим является элемент b11, во второй в качестве ведущего может выступить либо b22, либо b24.

Замечание 1. Обобщением элементарных преобразований 2)-4) является возможность вычеркивания равных или пропорциональных строк матрицы (при этом одна из таких строк обязательно должна остаться!).

Замечание 2. Аналогичные элементарные преобразования можно проводить со столбцами матриц.

Рангом матрицы A в дальнейшем будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя обозначение r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3, r(B)=2. Можно доказать, что ранг матрицы A (размера mxn) не может быть больше (например, для матрицы А размера 2x3 ). Кроме того, ранг матрицы не зависит ни от выбора ведущих элементов, ни от проводимых преобразований. Это свойство можно использовать при проверке. Так, в примере 3.4 после перестановки первой и второй строки в матрице B можно в качестве ведущего сначала рассмотреть элемент b12, а затем вычеркнуть третью строку, пропорциональную второй ( ):

Мы получили другую матрицу, эквивалентную B. Но она тоже является ступенчатой, причем состоит из двух строк, r(B)=2, как и было показано ранее.