Пример выполнения задания №2
Рассчитать параметры сетевого графика мероприятия по совершенствованию системы. Сетевая модель заданатаблично (Таблица 2). Продолжительность выполнения работ дана в виде минимальной и максимальной оценок (по вариантам). Требуется:
1. Вычислить табличным методом все основные характеристики работ и событий, найти критический путь и его продолжительность.
2. Построить масштабный сетевой график.
3. Оценить вероятность выполнения всего комплекса работ за 30 дней.
4. Оценить максимально возможный срок выполнения всего комплекса работ с вероятностью 95%.
Таблица 2. Сетевая модель
| Код работы (i,j) | Продолжительность | |
| tmin (i,j) | tmax (i,j) | |
| 1,2 | ||
| 1,4 | ||
| 1,5 | ||
| 2,3 | 4,5 | |
| 2,8 | ||
| 3,4 | 3,5 | |
| 3,6 | ||
| 4,7 | 6,5 | |
| 5,7 | ||
| 6,8 | ||
| 7,8 | 7,5 |
Решение: В нашем задании продолжительность выполнения работы задаётся двумя оценками – минимальная и максимальная. Минимальная оценка tmin(i,j) характеризует продолжительность выполнения работы при наиболее благоприятных обстоятельствах, а максимальная tmax(i,j) – при наиболее неблагоприятных условиях. Продолжительность работы в этом случае рассматривается, как случайная величина, которая в результате реализации может принять любое значение в заданном интервале. Такие оценки называются вероятностными (случайными), и их ожидаемое значение tож(i,j) оценивается по формуле
tож(i,j)=(3 tmin(i,j)+2 tmax (i,j))/5
Для характеристики степени разброса возможных значений вокруг ожидаемого уровня используется показатель дисперсии:
S2(i,j)=0,04(tmax(i,j)-tmin(i,j))2
Рассчитаем ожидаемое значение и показатель дисперсии.
tож(1,2)=(3*5+2*10)/5=7
tож(1,4)=(3*2+2*7)/5=4
tож(1,5)=(3*1+2*6)/5=3
tож(2,3)=(3*2+2*4,5)/5=3
tож(2,8)=(3*9+2*19)/5=13
tож(3,4)=(3*1+2*3,5)/5=2
tож(3,6)=(3*9+2*19)/5=13
tож(4,7)=(3*4+2*6,5)/5=5
tож(5,7)=(3*2+2*7)/5=4
tож(6,8)=(3*7+2*12)/5=9
tож(7,8)=(3*5+2*7,5)/5=6
S2(1,2)=0,04*(10-5)2=1
S2(1,4)=0,04*(7-2)2=1
S2(1,5)=0,04*(6-1)2=1
S2(2,3)=0,04*(4,5-1)2=0,25
S2(2,8)=0,04*(19-9)2=4
S2(3,4)=0,04*(3,5-1)2=6,25
S2(3,6)=0,04*(19-9)2=4
S2(4,7)=0,04*(6,5-4)2=0,25
S2(5,7)=0,04*(7-2)2=1
S2(6,8)=0,04*(12-7)2=1
S2(7,8)=0,04*(7,5-5)2=0,25
Полученные данные занесем в таблицу 3.
Таблица 3 – Сетевая модель
| Работа (i,j) | Продолжительность | Ожидаемая продолжительность tож(i,j) | Дисперсия S2(i,j) | |
| tmin (i,j) | tmax (i,j) | |||
| 1,2 | ||||
| 1,4 | ||||
| 1,5 | ||||
| 2,3 | 4,5 | 0,25 | ||
| 2,8 | ||||
| 3,4 | 3,5 | 6,25 | ||
| 3,6 | ||||
| 4,7 | 6,5 | 0,25 | ||
| 5,7 | ||||
| 6,8 | ||||
| 7,8 | 7,5 | 0,25 |
Используя полученные данные, мы можем найти основные характеристики сетевой модели табличным методом, критический путь и его продолжительность.
Таблица 4 – Табличный метод расчета сетевого графика
| КПР | Код работы (i,j) | Продолжительность работы t(i,j) | Ранние сроки | Поздние сроки | Резервы времени | |||
| tрн(i,j) | tро(i,j) | tпн(i,j) | tпо(i,j) | Rп | Rc | |||
| 1,2 | ||||||||
| 1,4 | ||||||||
| 1,5 | ||||||||
| 2,3 | ||||||||
| 2,8 | ||||||||
| 3,4 | ||||||||
| 3,6 | ||||||||
| 4,7 | ||||||||
| 5,7 | ||||||||
| 6,8 | ||||||||
| 7,8 |
Таким образом, работы критического пути (1,2),(2,3),(3,6),(6,8). Продолжительность критического пути Ткр=32.
Рисунок 1. Масштабный график сетевой модели
Для оценки вероятности выполнения всего комплекса работ за 30 дней нам необходима следующая формула:
P(tкр<T)=0,5+0,5Ф(Z),
где Z=(Т-Ткр)/Sкр
Z- нормативное отклонение случайной величины, Sкр – среднеквадратическое отклонение, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии продолжительности критического пути. Соответствие между Z и Ф(Z) представлено в таблице 5.
Таблица 5 - Таблица стандартного нормального распределения
| Z | F(Z) | Z | F(Z) | Z | F(Z) |
| 0.0000 | 1.0 | 0.6827 | 2.0 | 0.9643 | |
| 0.1 | 0.0797 | 1.1 | 0.7287 | 2.1 | 0.9722 |
| 0.2 | 0.1585 | 1.2 | 0.7699 | 2.2 | 0.9786 |
| 0.3 | 0.2358 | 1.3 | 0.8064 | 2.3 | 0.9836 |
| 0.4 | 0.3108 | 1.4 | 0.8385 | 2.4 | 0.9876 |
| 0.5 | 0.3829 | 1.5 | 0.8664 | 2.5 | 0.9907 |
| 0.6 | 0.4515 | 1.6 | 0.8904 | 2.6 | 0.9931 |
| 0.7 | 0.5161 | 1.7 | 0.9104 | 2.7 | 0.9949 |
| 0.8 | 0.5763 | 1.8 | 0.9281 | 2.8 | 0.9963 |
| 0.9 | 0.6319 | 1.9 | 0.9545 | 2.9 | 0.9973 |
Критический путь проходит по работам (1,2)(2,3)(3,6)(3,8).
Дисперсия критического пути:
S2(Lкр)= S2(1,2)+ S2(2,3)+ S2(3,6)+S2(6,8)=1+0,25+4+1=6,25
S(Lкр)=2,5
p (tкр<30)=0,5+0,5Ф((30-32)/2,5)=0,5-0,5Ф(0,8)=
=0,5-0,5*0,5763=0,5-0,28815=0,213
Вероятность того, что весь комплекс работ будет выполнен не более чем за 30 дней, составляет 21,3%.
Для определения максимально возможного срока выполнения всего комплекса работ с надежностью 95% будем использовать следующую формулу:
T=Ткр+Z*Sкр
Для решения поставленной задачи найдем значение аргумента Z, которое соответствует заданной вероятности 95% (значению графы Ф(Z) 0,9545*100% в таблице 5 соответствует Z=1,9).
T=32+1,9*2,5=36,8
Максимальный срок выполнения всего комплекса работ при заданном уровне вероятности 95% составляет всего 36,8 дня.
Литература
1. Исследование систем управления: учебное пособие для вузов/Е.В.Закалкина. -Орел:ОрелГТУ, 2010. - 109с.
2. Казанцев Э.Ф., Закалкина Е.В., Мартынова Е.А., Системный анализ. Учебное пособие. - Орел: ОрелГТУ , 2001., 221 c.
3. Системный анализ в логистике: выбор в условиях неопределенности: учеб.для студ. учреждений высш. проф. образования/Г.Л.Бродецкий. –М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 336с.
4. Закалкина Е.В., Казанцев Э.Ф. Сетевое планирование и управление. Методические указания по выполнению практических заданий. Орел: ОрелГТУ, 2001г. – 43с
5. Рогожин С.В., Рогожина Т.В. Исследование систем управления: Учебник/ С.В.Рогожин, Т.В.Рогожина. –М.:Экзамен, 2005.- 288с.(Серия «Учебник для вузов