Смешанное произведение векторов

Замечания 3.1

1. Один столбец тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при линейно независимую.

2. Любая часть системы столбцов называется подсистемой.

10) Ранг матрицы.(дать два определения)

Рангом матрицы называется ранг любого оператора, представляемого этой матрицей, т.е. размерность образа этого оператора.

Таким образом, если удастся найти какой–нибудь способ вычисления ранга матрицы, то ранг оператора можно будет определить по рангу его матрицы. Такой способ предлагается в следующем утверждении.

Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

Наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A).

11) Методы нахождения ранга матрицы

Одним из способов вычисления ранга матрицы является метод окаймления миноров. Рассмотрим применение этого способа на следующем примере.

Пример. Определить ранг матрицы

Среди миноров второго порядка матрицы существует, по крайней мере, один, отличный от нуля. Например, минор матрицы полученный вычёркиванием из этой матрицы третьей строки, третьего, четвёртого и пятого столбцов, отличен от нуля:

следовательно, ранг данной матрицы не меньше двух.

Найдём миноры третьего порядка матрицы Все десять миноров третьего порядка равны нулю, поэтому ранг данной матрицы не может быть равен трём. Таким образом,

Другой способ вычисления ранга матрицы основан на применении элементарных преобразований матрицы и использовании следующих утверждений.

Теорема 4.1. Ранг ступенчатой матрицы равен количеству её ненулевых строк.

Теорема 4.2. Элементарные преобразования матрицы не изменяют её ранг.

Пример. Вычислим ранг матрицы из предыдущего примера. Для этого матрицу с помощью элементарных преобразований приведём к ступенчатому виду. Найдём сумму второй строки матрицы с первой строкой, умноженной на а также сумму третьей строки матрицы с первой строкой, умноженной на В результате указанных элементарных преобразований получим эквивалентную матрицу

Третью строку полученной матрицы сложим с её первой строкой, умноженной на и получим эквивалентную матрицу

Удалим из этой матрицы третью строку и получим ступенчатую эквивалентную матрицу, количество ненулевых строк которой равно двум:

В соответствии с теоремой 4.1, ранг полученной матрицы равен двум, а значит (теорема 4.2),

12) Системы линейных уравнений, основные понятия, матричная запись

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n_-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b.

Здесь A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

13) Правило Крамера

Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Решите систему уравнений

Решение. Выписываем матрицу системы и столбец свободных членов .

Находим определитель системы: . Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить правило Крамера. Находим дополнительные определители:

Итак,

Ответ: .

Замечание 15.1 При кажущейся простоте правила Крамера применяется оно для систем более, чем из трех уравнений, только в каких-то исключительных случаях. Дело в том, что вычисление определителей требует выполнения большого числа арифметических операций и существует способ, требующий меньшей вычислительной работы. Этот способ будет описан позже.

Замечание 15.2 При решении системы уравнений приходится выполнять довольно большой объем вычислений. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы обнаружить эту ошибку, рекомендуется выполнить проверку ответа, то есть подставить полученные значения неизвестных в уравнения системы. Если все уравнения превратятся в верные равенства, то решение найдено верно. В противном случае при вычислениях где-то допущена ошибка.

14) Теорема Кронекера-Капелли

Система совместна тогда и только тогда, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство.

1) Необходимость: пусть система совместна и ее решение. Тогда

, то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы системы и, следовательно, столбцов любого ее базисного минора. Поэтому добавление элементов этого столбца и любой строки расширенной матрицы к базисному минору даст нулевой определитель, то есть

2) Достаточность: если то любой базисный минор матрицы А является и базисным минором расширенной матрицы. Поэтому столбец свободных членов представляет собой линейную комбинацию столбцов этого базисного минора, и, следовательно, линейную комбинацию всех столбцов матрицы А. Если обозначить коэффициенты этой линейной комбинации то эти числа будут решением системы, т.е. эта система совместна. Теорема доказана.

15) Метод Гауса

Метод Гаусса - это метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y - 3z = 2,

3x - 2y + z = - 1,

2x + y - 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы

и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y - 3z = 2,

-5y + 10z = -7,

- 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим
x = - 0,7.

16) Однородные системы уравнений

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет по крайней мере одно решение:

x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение — нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

17) Фундаментальная система решений

Если однородная система нетривиально совместна, то она имеет бесконечное множество решений, причем линейная комбинация любых решений системы тоже является ее решением.
Доказано, что среди бесконечного множества решений однородной системы можно выделить ровно n-r линейно независимых решений.
Совокупность n-r линейно независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Любое решение системы линейно выражается через фундаментальную систему. Таким образом, если ранг r матрицы A однородной линейной системы Ax=0 меньше числа неизвестных n и векторы
e₁ , e₂ , ..., e_n-r образуют ее фундаментальную систему решений (Ae_i =0, i=1,2, ..., n-r), то любое решение x системы Ax=0 можно записать в виде

x=c₁ e₁ + c₂ e₂ + ... + c_n-r e_n-r ,

где c₁ , c₂ , ..., c_n-r — произвольные постоянные. Записанное выражение называется общим решением однородной системы.

Исследовать однородную систему — значит установить, является ли она нетривиально совместной, и если является, то найти фундаментальную систему решений и записать выражение для общего решения системы.

Исследуем однородную систему методом Гаусса.

Пусть

матрица исследуемой однородной системы, ранг которой r< n.

Такая матрица приводится Гауссовым исключением к ступенчатому виду

Соответствующая эквивалентная система имеет вид

Отсюда легко получить выражения для переменных x₁ , x₂ , ..., x_r через x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n . Переменные
x₁ , x₂ , ..., x_r называют базисными переменными, а переменные x_r+1 , x_r+2 , ..., x_n — свободными переменными.

Перенеся свободные переменные в правую часть, получим формулы

которые определяют общее решение системы.

Положим последовательно значения свободных переменных равными

и вычислим соответствующие значения базисных переменных. Полученные n-r решений линейно независимы и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений исследуемой однородной системы:

18) Собственные значения и собственные векторы.

Пусть A – матрица некоторого линейного преобразования порядка n.
Определение. Многочлен n-ой степени

P(l)=det(A-lЕ) (1.1)

называется характеристическим многочленом матрицы А, а его корни, которые могут быть как действительными, так и комплексными, называются характеристическими корнями этой матрицы.
Определение. Ненулевой вектор x линейного пространства V, удовлетворяющий условию

А(х)=lх, (1.2)

называется собственным вектором преобразования A. Число l называется собственным значением.
Замечание. Если в пространстве V задан базис, то это условие можно переписать следующим образом:

Ах=lх, (1.3)

где A – матрица преобразования, x – координатный столбец.
Определение. Алгебраической кратностью собственного значения l_j называется кратность корня l_j характеристического многочлена.

Определение. Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

19) Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов

1. Найти собственные значения матрицы:

· записать характеристическое уравнение:

det(A-lЕ)=0; (1.4)

· найти его корни l _j, j=1,...,n и их кратности.

2. Найти собственные векторы матрицы:

· для каждого l _j решить уравнение

(A-l _jE)x=0; (1.5)

· найденный вектор х и будет собственным вектором, отвечающим собственному значению l _j.

Пример1Найдем собственные значения и собственные векторы, если известна матрица преобразования:

Записываем характеристический многочлен (1.1) и решаем характеристическое уравнение (1.4):

Получаем два собственных значения: l₁=1 кратности m₁=2 и l₂=-1 кратности m₂=1.
Далее с помощью соотношения (1.5) находим собственные векторы. Сначала ищем ФСР для l₁=1:

Очевидно, что rang=1, следовательно, число собственных векторов для l₁=1 равно n-rang=2. Найдем их:

Аналогичным образом находим собственные векторы для l₂=-1. В данном случае будет один вектор:

20) Векторы. Операции над векторами.

Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек)

называется вектором.

Операции над векторами

1 - сложение векторов

2 - вычитание векторов

3 - умножение векторов

4 - Умножение вектора на число

Смешанное произведение векторов.

Далее ⇒