Сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен шешу

1. Жүйені Крамер әдісімен шығар. Келесідей белгілеулер енгізейік:

 

∆ анықтауышы (1) жүйенің анықтауышы деп аталады. ∆х, ∆у, ∆z анықтауыштары ∆ жүйенің анықтауышынан сәйкес бірінші, екінші, үшінші бағандарын бос мүше элементтерімен ауыстыру арқылы алынған. Екі жағдай қарастырайық.

 

1 жағдай. 0.Бұл жағдайда(1)жүйенің шешуі бар жәнеол біреу ғана, және келесі формуламен анықталады:

X=∆x / ∆ y= ∆y /∆ z=∆z / ∆

(2) формулалары Крамера формулалары деп аталады.

2 жағдай. ∆=0, ∆х=∆у= ∆z=0

Бұл жағдайда (1) жүйенің шексіз көп шешімі болады (шешуі

болмауы да мүмкін).  
Біртекті жүйені қарастырайық.
Мұндағы h1 = h2 = h3 =0, яғни:
a1x+ b1y+ c1z= 0  
   
a2x+ b2 y +c2 z= 0  
   
a3x+ b3 y+ c3z= 0  

Егер 0 болса,онда (3) жүйенің бір ғана нольдік шешімі х=0, у=0, z=0 болады.

 

1) Айталық ∆ анықтауыштың бір миноры нольден өзгеше

 

болсын. Айталық, мәселен a1 b1 ≠0. Онда
    a2 b2  
a1x+ b1y+ c1z= 0 a1x +b1y=- c1z
→      
a2 x+b2 y+ c2 z= 0 a2 x+ b2 y=- c2 z

Үш белгісізді екі теңдеуден тұратын біртекті жүйе аламыз.

∆ 1=   a1 b1   ≠0 ∆ 2   = -с1z b1   =z   b1 с1   ;   a1 c1 z z a1 с1  
     
  a2 b2       -c 2 z b 2       b 2 c2     a2 c 2 z a2 с2  
                     

 

Онда (4) жүйенің шешімі Крамер формулалары бойынша

 

          b1 c1   z           a1 c1     z        
  2       b2 c2     3       a 2 c2     a1 b1    
x             ; y               ;z t t  
         
                                 
            a b               a b   a b    
                   
            a2 b2               a2 b2            
                                                       

 

деп алайық; мұндағы t кез келген мән қабылдайды. Онда (4) біртекті жүйенің келесі формулалармен анықталған шексіз көп шешімі болады:

 

x b1 c1 t, y a1 b1 t; z a1 b1 t (5)
 
  b2 c2   a2 b2   a2 b2    

 

 

2) Айталық анықтауыштың барлық минорлары нольге тең болсын. Бұл дегеніміз (3) барлық үш теңдеудің коэффициенттерінің пропорционалдығын білдіреді. Онда бір ғана

теңдеу   a1x +b1 y+ c1z= 0   шығады және оның шексіз көп  
шешімі болады.                      
  ∆ =0 ,бірақ анықтауыштың біреуінің мәні нольден өзгеше.  
Онда             формуладан       алатынымыз,  
∆*x=∆x ;∆* y= ∆ y ;∆*z= ∆ z .Егер∆ x ≠0деп есептесек,  
онда теңдікте ∆*x= 0; ∆ x ≠0 мүмкін емес жағдай аламыз.  
Яғни (1) жүйенің шешімі жоқ.              
                                 

 

18.п- белгісізі бар м сызықты теңдеулер жүйесі,Гаусc теориясы.

А және А векторы матрицаларының ранглерін Гаус әдісімен анықтау үшін А векторы кеңейтілген матрицасын элементар түрлендірулер арқылы трапеция тәріздер матрицаға келтіреді

1.r(Aвекторы)>r(A).Бұл жағдайда Кронекер-Капелли теоремасы теңдеулер жүйесі үйлесімсіз.

2.r(Aвекторы)=r(A)=r.Бұл жағдайда сол теорема бойынша жүйе үйлесімді.Сонымен бірге:

а . Егер r=n болса,яғни матрицаның ранглері белгісіздер санына тең болса онда жүйе шешімі жалғыз болады.

б . Егер r<n болса,онда теңдеулер жүйесінің параметрлері тәуелді ақырсыз көп шешімі болады.

Мысалы. Теңдеулер жүйесін зерттеп үйлесімді болған жағдайда оның шешімін табу керке.

~ ~ ~

Мұндағы r(Aвекторы)=r(A)=3.Бұл 2а.жағдайы.Теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімі бар соңғы матрицадан теңдеулер жүйесі қалыпты түрде жазып,оның шешімін табамыз.


rrent">2