Исходные данные (Данные межотраслевого баланса)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА И ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ОРЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ
кафедра математики и математических методов в управлении
Типовой расчет
По линейной алгебре
на тему «Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления»
для студентов факультетов
«Государственное и муниципальное управление»
«Экономика и менеджмент»
Орел, 2011
Цель типового расчета.
Изучение количественных методов матричного анализа, направленных на решение задач экономики и управления. Экономическая интерпретация математических понятий.
Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице:
| Отрасль | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск | |
| 
| 
| 
|
Требуется:
1. исходя из численных значений, составить таблицу баланса;
2. оценить продуктивность и запас продуктивности матрицы прямых затрат;
3. найти новый вектор конечного продукта, при увеличении конечного продукта первой отрасли в l раз, а второй отрасли – на m %;
4. сформулировать и решить задачу межотраслевого баланса, исходя из численных значений предложенного варианта;
5. оценить изменение валового выпуска по сравнению с исходными величинами.
Требования к оформлению. Типовой расчет оформляется в любом исполнении (рукописном, компьютерном). Работа должна содержать все необходимые пояснения. Формулы должны содержать расшифровку принятых обозначений. Страницы должны быть пронумерованы.
Номер варианта соответствует порядковому номеру студента в списке группы.
Литература
1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 2000. — 471 с.
2. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов/ Кремер Н. Ш. и др. Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. — 423 с.
3. Афонина Т.Н. Приложение элементов линейной алгебры к задачам экономики и управления — Орел: Изд-во ОРАГС, 2001. — 88 с.
Пример выполнения.
1. Данные баланса двух отраслей промышленности за некоторый период представлены в таблице баланса:
| Отрасль | Потребление | Конечный продукт | Валовой выпуск | |
2. Оценим продуктивность матрицы прямых затрат.
Составим матрицу прямых затрат: 
, где 
- коэффициенты прямых затрат.
, 
, 
, 
.
Значит, 
- матрица прямых затрат.
Так как все элементы матрицы А неотрицательны и сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
max(0,272; 0,15; 0,13; 0,292) = 0,292 < 1,
то по второму критерию продуктивности матрица прямых затрат продуктивна.
Чтобы оценить запас продуктивности, найдем 
и оценим в предположении, что матрица А продуктивна.
Для этого последовательно определяем:
,
-
- 
,
,
.
Для продуктивности последней матрицы необходимо, чтобы все ее элементы были неотрицательны, что возможно при выполнении следующих условий:
Решаем последовательно каждое неравенство:
| 1) –0,0016 2- 0,18 + 1 > 0, 0,0016 2+ 0,18 – 1< 0. 0,0016 2+ 0,18 – 1= 0 D = 0,182 + 4·0,0016 = 0,0388 1 -117,8, 2 5,3. | 2) 1 – 0,1 0 -1/(-0,1) 10 |
| 3) 1 – 0,08 0 -1/(-0,08) 12,5 |
Окончательно получаем:
, откуда –117,8<<5,3.
Таким образом, согласно определению запаса продуктивности, матрица А продуктивна при 1<<5,3, т.е. запас продуктивности = 4,3 – значителен.
3. Найдем новый вектор конечного продукта при увеличении конечного продукта первой отрасли в l = 2,4 раз, а второй отрасли – на m = 20%.
.
4. Задача межотраслевого баланса формулируется следующим образом: «Найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 547,2 и 252 усл. ед.»
Новый вектор валового выпуска найдем по формуле:
.
Последовательно находим:
,
Найдем определитель матрицы (Е-А):
.
Составим присоединенную матрицу 
:
,
транспонировав, получим: 
Матрицу 
найдем по формуле: 
.
,
Тогда, 
- новый вектор валового выпуска.
5. Таким образом, валовый выпуск первой отрасли должен возрасти с 300 усл.ед. до 659,88 усл.ед., т.е. на 359,88 усл.ед. (приблизительно на 120%), Валовый выпуск второй отрасли должен возрасти с 250 усл.ед. до 315,072 усл.ед., т.е. на 65,072 усл.ед. (приблизительно на 26%).
Исходные данные (Данные межотраслевого баланса).
| № варианта | Значения переменных | |||||||||
| x11 | x12 | x21 | x22 | y1 | y2 | x1 | x2 | l | m | |
| | 3,1 | |||||||||
| | 2,9 | |||||||||
| | 2,3 | |||||||||
| | 2,1 | |||||||||
| | 2,5 | |||||||||
| | 1,7 | |||||||||
| | 2,2 | |||||||||
| | 0,5 | |||||||||
| | 2,4 | |||||||||
| | 1,2 | |||||||||
| | 0,6 | |||||||||
| | 3,7 | |||||||||
| | 2,5 | |||||||||
| | 2,1 | |||||||||
| | 2,6 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | 3,2 | |||||||||
| | 2,2 | |||||||||
| | 1,8 | |||||||||
| | 1,2 | |||||||||
| | 2,4 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | 1,7 | |||||||||
| | 0,5 | |||||||||
| | 2,4 | |||||||||
| | 1,2 | |||||||||
| | 1,3 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | 1,6 | |||||||||
| | 0,8 | |||||||||
| | 1,2 | |||||||||
| | 0,4 | |||||||||
| | 2,5 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | ||||||||||
| | ||||||||||
| | 0,5 | |||||||||
| | ||||||||||
| | 1,2 | |||||||||
| | 0,4 | |||||||||
| | 1,1 | |||||||||
| | 1,5 | |||||||||
| | ||||||||||
| | 0,5 |