Лекция 2. Пример обработки результатов. Функция желательности

В качестве примера рассмотрим обработку результатов при определении электрической прочности. В целях получения достоверных результатов при значительном разбросе данных проводят ряд повторных (иногда десятки) испытаний одного и того же материала.

Пусть при одних и тех же условиях проведено N пробоев, пробивные напряжения при этом оказались равны U1,U2…Ui, Ux. Среднее значение пробивного напряжения – сумма всех значений Ui, деленная на число пробоев

Ucp= ΣUi/N

Разброс пробивных напряжений Ui относительно среднего значения Ucp характеризуется среднеквадратичным отклонением σ

σ= [Σ(Ui-Ucp)²/(N-1)]^1/2

Вероятность пробоя одного и того же материала при неизменных условиях и при многократных испытаниях на партии образцов определяют путем построения дифференциальной и интегральной кривых вероятности в функции напряжения. Пусть все необходимые значения пробивного напряжения находятся в определенном диапазоне. Разобьем это диапазон на ряд небольших одинаковых интервалов ΔU и найдем число пробоев n для каждого интервала. Таким образом, первому интервалу напряжений будет соответствовать n1 пробоев, второму n2 -число пробоев, k–тому число пробоев n_k и т.д. Пусть таких интервалов оказалось m, очевидно m<N. Сумма всех значений n_k должна равняться общему числу пробоев.

Σn_k=N

При большом числе пробоев вместо трудоемкого определения среднего значения пробивного напряжения для всех N пробоев довольствуются приближенным средним статистическим пробивным напряжением Ucp.cт., Оно определяется следующим образом. Для каждого интервала k напряжений находят произведение p_k*U_k, где р_k=(n_k/N)*100 . Сумма этих произведений , деленная на 100 и даст значение Ucp.cт :

Ucp.cт=(1/100)Σp_kU_k

Эта величина близка к Ucp, но не равна ей, так как в пределах интервала усреднялись значения напряжения. При достаточно малых интервалах

Ucp.cт ≈ Uср

Вероятность р того, что пробой произойдет при напряжении U , соответствующем интервалу определяется в % отношением

100(n_k/N)=p_k

Можно построить ступенчатый график p(U) выражающий зависимость р от напряжения U. Сумма всех значений p_k равняется

Σp_k=(100/N)Σn_k=(100/N)N = 100%

Откладывая по оси ординат р, а по оси абсцисс напряжение при пробое для каждого интервала, получают ступенчатый график (рис.) называемый гистограммой. Плавная кривая, проведенная через средние точки графика , представляет собой дифференциальную кривую вероятности.

Заметим, что при увеличении числа наблюдений график р(U) приближается в плавной кривой, симметрично расположенной около центральной ординаты. Уравнение такой кривой (для рассматриваемого процесса пробоя однородных диэлектриков) имеет вид:

p(U)=1/[σ(2π)^1/2]exp[-(U-Ucp)/(2σ²)]

Эта кривая выражает так называемый нормальный закон распределения вероятностей Гаусса.

Для построения интегральной кривой найдем соответствующее каждому интервалу k число пробоев М (в процентах от общего числа пробоев N), т.е. число образцов, пробитых при напряжении U_k и при более низких значениях напряжения. Нарастающая зависимость М(U) носит название интегральной кривой.

Дифференциальная и интегральная кривые вероятности играют важную роль не только при определении электрической прочности материалов, но также при оценке других их свойств.

Доверительный интервал. Вероятность того, что абсолютное значение отклонения какой-либо величины (пробивного напряжения ) от среднего значения этой величины

│Uk-Ucp│

не превышает некоторого значения u, выражается функцией Лапласа

Ф(z)=Ф(u/(σ^1/2))

Где σ – среднеквадратичной отклонение. Эта функция представляет собой определенный интеграл вида

Ф(z)=(2/π)∫еxp(-t²)dt

Ee значения даются в виде таблиц в справочниках.

Рассмотрим значения вероятности отклонения для некоторых частных случаев.

1) u=σ. Тогда вероятность отклонения при │Uk-Ucp│<= σ ,будет равна Ф=0,68.

2) u=1,5σ . Ф=0,866 ≈ 0,9.

3) u=2σ . Ф=0,954.

Таким образом, если на гистограмме отложить влево и вправо от средней величины 2σ, то количество пробоев в этом интервале составляет 95% от общего числа пробоев. Зачастую довольствуются значением 1,5σ, считают, что за этим интервалом измеряемые величины встречаются редко, в виде единичных случаев.

Коэффициентом вариации называют отношение

k=σ/Ucp*100%

Считают, что материалы с k ≤15% являются однородными, а при большей величине k - недостаточно однородными.

Рис.2. Пример интегральной (ряд 2) и дифференциальной (ряд 1) функций распределения. По оси абсцисс нанесены значения электрической прочности. По оси ординат нанесены величины пропорциональные плотности вероятности. Показано среднее значение (ряд 3), совпадающее с наивероятнейшим значением.

Пороговое пробивное напряжение.

Определение наиболее низкого пробивного напряжения, при котором (как и при более высоких значениях) пробивается значительное количество образцов (или происходит большое число пробоев) имеет важное значение для конструирования электроизоляционных конструкций и их расчетов. Очевидно, при многократных испытаниях всегда будут наблюдаться единичные пробои, отвечающие некоторому значению U_пр.мин; вероятность появления таких пробоев ничтожно мала, и едва ли можно эту величину, U_пр.мин положить в основу оценки электрической прочности материала. Иногда в качестве критерия используют величину среднего пробивного напряжения U_ср≈ U_ср.ст, но при этом следует учитывать, что около половины пробоев будет наблюдаться при более низких (по с сравнению с U_ср) пробивных напряжениях.

Более обоснованным является подход к оценке электрической прочности, основанный на разумной минимально допустимой (пороговой) вероятности пробоя М_пор, равной, например, 5-10%. Пробивное напряжение, U_пор , при котором (как и при более низких) пробьется М_пор процентов общего числа образцов, называют пороговым пробивным напряжением при заданной минимально допустимой вероятности. Нетрудно заметить, что

U_мин <U_пор< U_ср

Для получения порогового напряжения U_пор откладывают по вертикальной оси М значение интегральной вероятности М_пор и, проведя горизонтальную прямую до пересечения с интегральной кривой , находят U_пор.

Проследим на численном примере методику статистической обработки результатов испытаний. Определение электрической прочности одного из материалов показало, что значение U_пр лежит в пределах от 27 до 33 кВ. Весь диапазон напряжений можно разбить на интервалы по 0,4 кВ, причем таких интервалов оказалось 15, а вероятность р числа пробоев для отдельных интервалов колебалась от 0,3 до 16%. По этим данным построим дифференциальную кривую вероятности, которая оказалась близкой к нормальному закону распределения. Складывая значения р для каждого интервала со значениями р в предыдущих интервалах, получают значения М, по которым построена интегральная кривая распределения . Пусть М_пор=5%; отложив это значение по оси М и проведя горизонтальную прямую до пересечения с интегральной кривой, находит U_пор =28,2 кВ.

Интересно отметить, что в данном случае среднестатистическое пробивное напряжение составляет

U_ср.ст=30,24 кВ .

Среднеквадратичное отклонение равняется σ=0,676 кВ.

Коэффициент вариации составляет величину

k_вар=2,24%.

Таким образом, материал, подвергнутый испытаниям, относится к

материалам первой группы однородности («материал однородный»).