Использование критерия Стьюдента

Получение большого количества точек для построения кривой распределения требует проведения многократных измерений с большим числом образцов. В связи с этим нередко ограничиваются небольшим числом наблюдений (образцов), стремясь получить оценочное значение параметра с достаточной для практики точностью. С помощью критерия Стьюдента удается при ограниченном числе наблюдений (так называемой частичной совокупности ) установить с определенной степенью вероятности границы, между которыми заключено среднее значение искомого параметра , отвечающее полной совокупности (т.е. достаточно большому числу) опытов.

Рассмотрим последовательность статистической обработки результатов измерения, например диэлектрической проницаемости ε.

В результате экспериментов получили частичную совокупность значений εi. Находят среднее значение частичной совокупности

Εчаст=(1/N)Σεi

Где N–число наблюдений. Вместо определения среднего квадратичного отклонения , которое для частичной совокупности неизвестно, производят оценку этого отклонения по формуле

S=[Σ(εiчаст)2/(N-1)]1/2

Границы, заключающие среднеe значение полной совокупности εср, согласно критерию Стьюдента определяются величинами

ε=εчаст±St(γ)/(N)1/2

Их часто называют доверительными границами при доверительной вероятности ( γ ).

Здесь t(γ) – табличная функция вероятности γ и количества наблюдений N. Значение доверительной вероятности обычно задается равным 0,95-0,999.

Чем больше число наблюдений, тем ближе друг к другу границы, т.е. тем больше точность определения εср.

Рассмотрим применение критерия Стьюдента на примере определения диэлектрической проницаемости текстолита по данным 10 измерений при доверительной вероятности 0,95. Оказалось, что значение ε колеблется от 4,7 до 5,5. Сумма всех измеренных значений ε Σε=50,3. Далее подсчитываем

εчаст=50,3/10=5,03

S=(1,282/9)1/2=0,377

В таблице находит для γ=0,95 и N=9 t=2.26. Подставляя полученные величины, находим

S/(10)1/2 =0,269.

Граничные значения εср=5,03±0,27

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что величина εср ограничена значениями

4,76≤ εср ≤ 5,30

 

Результаты определения электрической прочности

 

№ интервала Напряжение пробоя р М Общее число пробоев   Ui-Ucp   (Ui-Ucp)2
27,2 0,3 0,3 3.04 9.25
27,6 1,3 2.64 6,97
2,0 3,3 2.24 5,00
28,4 4,0 7,3 1.84 3,38
28,8 8,5 15,8 1.44 2,07
29,2 12,0 27,8 1.04 1,08
29,6 14,5 42,3 0.64 0,41
58,3 0.24 0,06
30,4 72,3 0.16 0,013
30,8 84,3 0.56 0,31
31,2 92,3 0.96 0,92
31,6 95,3 1.36 1,85
98,3 1.76 3,04
32,4 99,3 2.16 4,67
32,8 0,7 2.56 6,55
Сумма Uср=30,24      

 

σ=0,676 кВ

kвар=2,24%

 

 

Оценка расхождений между средними знпчениями

Проверим гипотезу, что две независимые частичные совокупности n1 и n2 взяты из одной и той же нормально распределенной общей совокупности, имеющей среднее значение X0 и дисперсию s2 .

Пусть оценки дисперсии S1 и S2 и пусть проверяемая гипотеза верна. Основой проверки является разность Xcp1 и Xcp2 , дисперсия которой равна

s12/n1+s22/n2 = (n1 + n2 )s2 /n1n2

Так как оценки S12 и S22 дисперсии s2 имеют вес n1 -1 и n2 -1, то полная оценка дисперсии s2 будет равна

S2 =[(n1 -1)S12 +(n2 -1)S22]/[(n1 -1)+(n2 -1)] =

= [S(X-Xcp)2 +S(X-Xcp)2]/(n1 +n2 -2)

В результате получаем

t = [(X -Xcp1)2/S][n1n2 /(n1 +n2 )]

 

Для оценки значимости расхождения между двумя средними можно воспользоваться таблицей t с числом степеней свободы n1+n2 -2.

В вышеприведенном примере t=2,8, а табличное t=2,567 при n=18 P=0,02. Т.о. вероятность случайных значений t, которые по абсолютной величине не меньше наблюдаемого t ничтожно мала. Следовательно, наблюдаемое расхождение не является случайным.

 

Оценка дисперсии. Критерий Фишера.

 

Пусть есть две независимых совокупности X'...Xn1 ' и X"...Xn2 " со средними значениями Xcp1 и Xcp2 . Оценки дисперсий S12 и S22 .Необходимо выяснить, являются ли эти оценки существенно pазличными или данные частичные совокупности можно рассматривать, как взятые наудачу из нормальных общих совокупностей, имеющих равные дисперсии s2 .

Для решения этой задачи используют критерий Фишера F - (дисперсионное отношение) - отношение оценок S12 и S22 дисперсии s , полученные из независимых частичных совокупностей F=S12/S22 . Построены таблицы F в зависимости от степени свободы , которые могут быть превзойдены соответственно с вероятностью 0,05; 0,01 и др.

Проверяемая гипотеза: Частичные совокупности взяты из одной и той же совокупности из нормальных общих совокупностей равной дисперсией. За S12 берется большая из них.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - -

Пример. 4. Пусть работают два лаборанта. У одного из них получилось Xср1 =4,57 S12 =0,0295 n=19 (n=20). У другого Xср2 =4,56 S22=0,0139 n=12

Находим F=0,0295/0,0139=2,12. По таблице при n=19 и 12 и 5% уровне значимости F=2,54. Так как рассчитанное F меньше табличного, то нет оснований считать разницу в точности существенной.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Критерий Романовского

Для сравнения дисперсий с помощью критерия Романовского вводится величина f=[(n -2)/n ]F, где F-критерий Фишера. Математическое ожидание этой величины в случае независимого выбора из нормальных общих совокупностей с одинаковой дисперсией равно 1, а основное отклонение равно sr =+[(2n1 +n1 -2)/ n1(n2 -4)]1/2 .

По величине критерия R=|f-1|/sr можно сделать заключение о существенности или случайности расхождений между оценками S12 и S22 .

Если R³3, то расхождение существенно.

Если R<3, то расхождение признается случайным.

 

Для применения этого критерия надо, чтобы одно из значений степеней свободы было больше 4. Оно принимается за n2 . В примеpе о работе двух лаборантов получаем f=1,77 и sr =0,72 R=1,07.Вывод тот же.

Критерий согласия Пирсона P(c2 )

Критерий Пирсона проверяет гипотезу, удовлетворяет ли рассматриваемая случайная величина заданному закону распределения F(X). Критерий Пирсона называется также критерием согласия или критерий хи-квадрат. Критерий служит для проверки гипотезы, что функция распределения, полученная экспериментально, F(X), соответствует некоторой заданной (гипотетической) функции распределения F0(X). Для расчетов область значений Х делится на ряд интервалов h. Пусть рi теоретическая вероятность того, что случайная величина попадает в интервал i. Затем сравниваем число с теоретическим.

Распределение Р(c2) представляет собой вероятность того, что

случайная величина c2 =S(Xh2/sh2 ) (где Xh =ni -nч ; nч -частота нормального распределения) примет значение, превосходящее некоторое заданное :

h

c2 =S(ni-npi)2/npi

i=1

где рi=ni/n и h-число интервалов; Xh(h=1,n) - независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения с общим средним значением, равным нулю и дисперсиями sh2 (h=1,n). Число независимых величин n - число степеней свободы.

Пусть есть m независимых линейных связей и n - случайные величины.

Тогда n=n-m. Есть Таблица, где по данному значению c2 и числу степеней свободы n n найти вероятность P(c2) того, что c2 превзойдет данное значение.

Например, для n=10 и 5% уровня значимости по таблице находим c2 =18,307. Это значит, что вероятность того, что c2 с 10 степенями свободы будет превышать 18,307, равна 0.05. Когда n>30 вероятность P(c2) находится по формуле

P(c2)=(1/2)[1-Ф(x)],

где Ф(X) берется из таблицы - функция Лапласа.

При n>30, распределение величины (2c2 )1/2 оказывается приближенно нормальным со средним значением, равным (2n-1)1/2 и основным отклонением, равным единице.

 

Оценка воспроизводимости.

Дисперсию генеральной совокупности s2х нормально распределенной случайной величины можно оценить, если известно распределение ее оценки - выборочной дисперсии S2ч . Распределение S2х можно получить по распределению c2 .

Если есть выборка n независимых наблюдений X1 ,X2 ,...Xn над нормально распределенной случайной величиной, то имеет место распределение c2

c2 =S[(Xi -Xcp)2 /sх ]

с f=n-1 степенями свободы. Плотность c2 зависит только от f:

f(c2)= 1/[2f/2 Г(f/2)] (c2)(f-2)/2 exp(-c2 /2), 0 < c < ¥.

Есть таблицы f от f и с разной 1-p доверительной вероятностью.

Двусторонняя оценка Sx. Кривые асимметричны, степень симметрии

уменьшается с увеличением f.

c2 p/2 £c2 £c2 1-p/2

Односторонняя оценка: c2 £ c21-p ; c2 ³ c2p .

Или двусторонняя:

fS2x / c2 1-p/2 £ s2х £ fS2х/c2р

и односторонняя:

sх2 £ fSх2 /c2 р и sх2 ³ fSх2 /c21-р

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Пример 5. Испытания показали,что параметр X равен 17,2, 16,3, 15,5

Определить ошибку воспроизводимости. Для этого рассчитаем выборочную дисперсию

Sх2 = S(X-Xср)2 /(3-2)=0,73

При доверительной вероятности 1-р=0,9 по таблице при f=2 находим

c2 0,05 =6 и c2 0,95 = 0,103

0,73 х 2/6 £ sх2 £ 0,73 х 6/0,103

0,24 £ sх2 £ 14,1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

При n>30 выборочная S распределена нормально с математическим ожиданием s с ощибкой ss = sx /(2f)1/2 = Sx/(2f)1/2

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Пример 6. Оценить ошибку воспроизводимости s для выборки из 31

измерений с S =0,85 при 1-p = 0,9.

Доверительный интервал:

c2 0,05 = 43,8 и c2 0,95 =18,5

0,85 .30/43,8 £ sх2 £ 0,85.30/18,5; 0,48 £ sх2 £ 1,13

 

Ошибки косвенных измерений

Пусть случайная величина Z зависит от наблюдений по известному

закону Z=f(X1 ,X2 ,...Xn ). Дисперсию косвенных измерений можно найти, зная дисперсию отдельных наблюдений. На практике определяют выборочную дисперсию Sxi2 и по ним выборочную дисперсию косвенного измерения Sz2 . Чтобы найти ее, разложим функцию Z(X) в ряд Тейлора в точке m1 ,m2...mn , ограничиваясь членами первого порядка:

Z=f(m1 , m2 ...mn ) + (X1 -m1 )df/dX1 + (X2 -m2 )df/dX2 +...(Xn -mn )df/dXn

и Sz определим по закону сложения дисперсий (закон накопления ошибок)

n

Sz2 = S(df/dXi )Si2

i=1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Пример 7. Определить ошибку определения линейной скорости движения газа в трубопроводе v, если измерено G=3000 м /час, S =10 м /час, сечение трубопровода F=0,1 м ± 1 см .

Решение: v - результат косвенных измерений v=G/F=3000/0,1=30000 м/час= =8,82 м/сек. Sv =[(dv/dG)2 SG2 + (dv/dF)2 SF2 ]1/2 = [SG2/F2 + G2 SF2/F4]1/2 =

= [10000 + 900]1/2 = 100/3600 = 0,03 м/c

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Определение воспроизводимости (дисперсии по текущим измерениям).

Если сделано m параллельных опытов и получена выборка y1 ,y2 ,...yn то дисперсия воспроизводимости

u

Sв2 =[S(y-ycp)]/(m-1)

u-1

и ошибка опыта (ошибка воспроизводимости ) Sвос = (Sв2)1/2

Общая дисперсия воспроизводимости S2 = SS(yn -yi)/Smi -n

где yn =Sym /mm.

Если число параллельных опытов одинаково (m1 =m2 =...=m),то дисперсия воспроизводимости S2 =SSi2/n или

n m

Sв2 = S S(yiu-yicp)2/n(m-1)

i-1 u-1

Если выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объемов m1=mn=...=m , то для их сравнения используют критерий Кохрена

n

G=S2max /SSi2

i=1