Методика выполнения контрольной работы

Если .

7. При дифференцировании произведения или частного нескольких функций, а также сложно-степенной функции целесообразно использоватьлогарифмическую производную:

если то .

Этот прием называют предварительным логарифмированием.

8. Правило дифференцирования параметрически заданной функции:

если ,тоили.

Задача на составление уравнений касательной и нормали

Касательную и нормаль, проходящие через точку , принадлежащую кривой, определяют три параметра: .

à Если кривая задана явно уравнением , то . Если значение не указано, то надо найти из условий задачи.

à Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то y₀=y(t₀), x₀=j(t₀),

Если значение параметра не указано, то его надо определить, исходя из условий задачи, так как используется при вычислении и, возможно, какой-либо координаты точки .

Параметры удобно свести в таблицу:

Таблица 1

Вид уравнений касательной и нормали определяется значением параметра . Различают три случая.

1. Если , то

уравнение касательной,

уравнение нормали.

2. Если , то

уравнение касательной,

уравнение нормали.

3. Если , то

уравнение касательной,

уравнение нормали.

В первом случае и касательная, и нормаль наклонные прямые; во втором случае касательная горизонтальная прямая (горизонталь), нормаль вертикальная прямая (вертикаль); в третьем случае касательная вертикальная прямая, нормаль горизонтальная прямая.

ЗАДАЧА НА ПРИМЕНЕНИЕ ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

При вычислении пределов функций, связанных с раскрытием неопределенностей вида , можно использовать правила Лопиталя-Бернулли: , если существует предел . Здесь конечная или бесконечная величина.

Ниже приведены:

методика выполнения контрольной работы;

типовой вариант;

пошаговое решение типового варианта.

Методика выполнения контрольной работы

При выполнении задач 13 следует:

1) определить способ задания функции явный или параметрический;

2) в случае явного задания упростить функцию и выбрать подходящие правила дифференцирования, определить и реализовать последовательность их применения;

3) в случае параметрического задания функции воспользоваться правилом 7 параметрического дифференцирования и правилами 1-6 при нахождении производных .

В задаче 4 следует:

1) определить способ задания функции явный или параметрический;

2) в зависимости от способа задания функции выбрать формулы для вычисления параметров искомых прямых, в частности:

для явной функции параметр ;

для функции, заданной параметрическими уравнениями , найти параметр по формуле ;

3) заполнить табл. 1;

4) по значению выбрать подходящий частный случай один из трех: 1) , 2) 0; 3) ) и составить уравнение касательной и/или уравнение нормали.

В задаче 5 следует использовать следующую методику.

1) Подставить предельное значение аргумента и найти предел или установить наличие неопределенности или отсутствие предела. В случае неопределенности определить ее вид.

2) Если неопределенность имеет вид , то составить новое предельное выражение согласно правилу Лопиталя. При отыскании производных числителя и знаменателя использовать методику дифференцирования явных функций.

Если получена неопределенность иного вида, то функцию надо преобразовать так, чтобы получилась неопределенность вида и далее вернуться к началу этого пункта.

3)повторить пункты 1) и 2) данной методики для нового предельного выражения . Заметим, что при неоднократном применении правила Лопиталя порядки производных будут расти.

Если в ходе применения правила Лопиталя получается выражение, не имеющее никакого предела, то следует использовать иной способ решения задачи тождественные преобразования, эквивалентные функции, замечательные пределы или сочетание приемов.

Типовой вариант КР1

Найдите производные функций:

4) Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где .

5) Найдите предел

Или

Найдите предел

Или

Найдите предел

Задача 1. Найдите производную функции

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана явно. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Упрощаем функцию

Выбираем правило 1 для дифференцирования суммы:

Задача 2. Найдите производную функции

2-й шаг. Упростить функцию нельзя. Данная функция является произведением константы и двух функций: Функция табличная,

нетабличная сложная функция:

Выполним дифференцирование в следующем порядке:

сначала выносим константу за знак производной по правилу 4:

;

применяем правило 3 дифференцирования произведения:

;

находим производные двух оставшихся функций:

по таблице производных ;

по правилу дифференцирования сложной функции:

;

«собираем» ответ:

Задача 3. Найдите производную функции

1-й шаг. Определяем способ задания функции. Функция задана параметрически. (Выбор одного ответа из двух возможных: явно или параметрически задана).

2-й шаг. Возможность упрощения функции отсутствует. Применяем правило 8 дифференцирования параметрически заданной функции:

В данном примере

Задача 4. Напишите уравнение касательной к кривой в точке, где .

2-й шаг. Находим параметры касательной: из условий задачи, , так как . Вычисляем параметр по формуле . Функция является

сложно-степенной функцией, производную которой можно найти при помощи предварительного логарифмирования: Дифференцируем

обе части равенства по переменной или

При .

3-й шаг. Заполним табл. 1:

4-й шаг. Так как и , то имеем дело с 1-м случаем: уравнение касательной, или или .

Задача 5. Найдите предел

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получена неопределенность, для раскрытия которой применимо правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: Заметим, что при вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2, 6 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: =

Или

Задача 5. Найдите предел

1-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в заданную функцию: Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой применяем правило Лопиталя.

2-й шаг. Согласно правилу Лопиталя составляем новое предельное выражение: . При вычислении производных числителя и знаменателя использованы правила 1, 2 и таблица производных.

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию:

Или

Задача 5. Найдите предел

3-й шаг. Подставляем предельное значение аргумента в новую функцию: . Получаем неопределенность вида , для раскрытия которой повторно применяем правило Лопиталя.

4-й шаг. Составляем новое предельное выражение:

5-й шаг. Вычисляем предел и получаем ответ: .