Определение предела функции

 

Число называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого найдется , такое что для всех значений , удовлетворяющих неравенству , выполнено неравенство .

При этом пишут или . В символах математического анализа определение может быть записано так:

.

Выше приведено определение для случая конечных значений и . Оно может быть переделано для случаев, когда или обращаются в бесконечность . При этом соответствующие неравенства должны быть заменены на неравенства типа , если , ,если , , если и т.п.

Переменная величина называется бесконечно малой величиной при , если .

Пусть , где – конечные числа, – любое конечное число или бесконечность.

Теоремы о пределах:

1. .

2. .

3. Если .

4. Пусть – конечное число. Тогда:

а)

б)

в) .

5. Пусть , тогда . ●

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Для непрерывной функции возможен переход к пределу под знаком функции.

Предельные переходы, содержащие нуль или бесконечность, при кратко можно записать так:

, (1)

где выражение, заключенное в квадратные скобки, понимается как предельное значение. Выражения вида:

, (2)

─ называются неопределенностями, что означает, что нельзя дать ответ, используя правила (1), Например, рассмотрим три функции: при . Отношение любых двух функций из указанных трех приводит к неопределенности . Однако, пределы этих отношений различны, например:

, , .

Неопределенности (2) всегда можно перевести из одной в другую. Кроме указанных выражений неопределенностями являются предельные выражения:

.

При вычислении пределов сначала подставляется предельное значение переменной. Если выполнены условия теорем, то сразу получаем ответ. Если при подстановке получается неопределенность, то следует предварительно преобразовать выражение, а затем подставить предельное значение.

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13.

В примерах 1─3,6─8 можно сразу записать ответ. В остальных примерах первая подстановка приводит к неопределенности, поэтому: сначала проводим преобразование. Так в примере 13 мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение, что позволило затем сократить дробь. Обратите внимание, что выражение , и это позволило вынести множитель за знак предела.

Проанализировав решения примеров 9–11, замечаем, что при вычислении пределов типа , приходим к пределу отношения членов со старшими степенями. Окончательный ответ зависит от соотношения степеней. Аналогичная ситуация и для выражений, содержащих дробные степени или радикалы.

Например, вычисляя , приходим к неопределенности . Выбрав в числителе и знаменателе слагаемые со старшими степенями . получаем решение:

.

Односторонние пределы

 

Если , оставаясь больше (или меньше) , то такие пределы называются односторонними пределами или пределами справа (слева). Стремление переменной к предельному значению слева будем записывать при стремлении справа , а сами предельные значения функции или . При или также имеем односторонние пределы: и . Сравните два предела

, .

Как указано в первом разделе: функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и . Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что функция имеет разрыв в точке . Разрывы функции имеют три типа и связаны с поведением функции слева и справа от точки разрыва.

1. Устранимый разрыв. Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, равны между собой, а функция не определена в точке :

.

2. Разрыв первого рода (скачок). Существуют левосторонний и правосторонний пределы, оба предела конечны, но они не равны между собой.

3. Разрыв второго рода. Один из пределов или оба обращаются в бесконечность или не существуют.

Все элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Пример 1.Исследовать поведение функции на границе ее области определения.

Решение. .

Определим пределы функции в граничных точках и при :

Пример 2. Исследовать поведение функции на границе ее области определения.

Решение. .

Определим пределы функции в граничных точках и при . Заметим, что каждая из точек граничной точкой является дважды. Поэтому в этих точках вычислим односторонние пределы: